Matematické Fórum

stenly · 05. 11. 2009 22:08

Máme dokázat úplnou matem.indukcí platnost následujících tvrzení:
1+2+........+n=(n+1)*n/2

1^2+2^2+3^2+........+n^2 =1/6*(n+1)*(2n+1)

1*2+2*3+3*4+.........+n*(n+1)=1/3*n*(n+1)*(n+2)

1/2*3 +1/3*4 +1/4*5 +..........+1/(n+1)*(n+2)=n/2*(n+2)

Děkuji za postup při dokazování

bobik · 05. 11. 2009 22:46

ten posledny:

dokazujeme to v dvoch krokoch
1. pre nejake prirodzene cislo ci to vobec plati, nech n = 1
prava strana (PS) : 1/2*3 = 1/6, lava strana (LS): 1/2*(1+2) = 1/(2*3) = 1/6 PLATI
2. predpokladame ze to plati pre prvych k a ukazeme ze to plati aj pre k+1 clen

co predpokladame ze plati : $\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{4*5}+.......+\frac{1}{(k+1)*(k+2)} = \frac{k}{2*(k+2)}$ toto plati z predpokladu
dokazeme ze
$\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{4*5}+.......+\frac{1}{(k+1)*(k+2)} + \frac{1}{[k+1]+1)*([k+1]+2)} = \frac{[k+1]}{2*([k+1]+2)} = \frac{k+1}{2(k+3)}$

(LS) : z predpokladu $\frac{k}{2*(k+2)} + \frac{1}{([k+1]+1)*([k+1]+2)} = \frac{k}{2k+4} + \frac{1}{(k+2)*(k+3)} = \frac{k^2+3k+2}{2(k+2)(k+3)} = \frac{(k+2)(k+1)}{2(k+2)(k+3)}=\frac{k+1}{2(k+3)}$

co sme chceli ukazat, dokaz je hotovy

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2009 22:08

úplná matematická indukce

#2 05. 11. 2009 22:46

Re: úplná matematická indukce

Zápatí