Matematické Fórum

Nejedná se ani moc tak o dotaz, že bych si s tím nevěděla rady, ale ráda bych tu napsala pár příkladů a jejich řešení + vysvětlení. Zajímalo by mě, zda jsou moje úvahy naprosto správné , nebo jestli potřebujou nějaké doupřesnění...

Uvažujme dvě věty, které máme přepsat pomocí kvantifikátorů:

1) Množina všech čísel, které jsou druhými mocninami celých čísel.

2) Množina všech druhých mocnin celých čísel.

Jako další si zkusíme rozmyslet, zda jsou věty totožné, či vyjadřují něco jiného.

Bylo by dobré  se nejdříve podívat na to, jak by vypadali takové množiny:



U první množiny je jasné, že se jedná pouze o čísla, které jsou druhými mocninami celých čísel tj. 0, 1, 4 , 9 , 16 , 25 apod.
ale u druhé množiny si můžeme volit z celých čísel, takže i ze záporných  -4,- 3 , -2, -1 atd . takže se v nám v množině objeví čísla 2x , protože si uvědomíme  , že (-a)^2 = a^2 . Ale to nám přeci vůbec nevadí, jedná se o množinový zápis, lze duplicitní prvky z množiny vynechat.
Tím jsme, zjistili, že se jedná o stejné množiny, až je zapíšeme, bude to určitě patrné na první pohled.

Jak tedy jednotlivé věty zapíšeme, zkusím je rozepsat postupně a zdůvodňovat , proč jednotlivý zápis je správný či nikoliv.

Někoho z vás by možná napadlo napsat:



Co je na tomto zápisu špatně?
Tento zápis nám nezaručuje, že tam jsou všechny druhé mocniny celých čísel. Dovolilo by to některé prvky vynechat! Proto je nutné, pokud si přejeme to zapsat tímto způsobem, použít ekvivalenci.



Tento zápis je již správný. Nutno podotknout, že není-li uveden kvantifikátor, uvažuje se , jako by tam byl všeobecný kvantifikátor!

Je možné tuto množinu zapsat i jiným způsobem:



Tento předpis říká, že to jsou všechna x, která se rovnají některým k^2.
Většinou se používá svislítko, ale můžete někde vidět i čárku (,) , někde to odděluje středníkem (;). Volba je na Vás, ale zpravidla se používá svislítko.

Podíváme se teď na př. 2)



Všimneme si, že jednotlivé zápisy jsou opravdu ekvivalentní. Také je dobré si pamatovat, že neuvedeme-li kvantifikátor když zavádíme nějakou proměnnou z určité množiny, myslí se tím, že to kvantifikujeme přes obecný kvantifikátor.

Teď si celou problematiku ukážeme ještě jednou a to na třech příkladech:

1) S je množina všech sudých přirozených čísel.
2) L je množina všech lichých přirozených čísel.
3) P je množina všech prvočísel.

Z toho co jsem tu napsala na začátku je patrné, že jednotlivé množiny můžeme zapsat tímtto způsobem:



Vidíme, že možností jak to zapsat je více.
Máme ale jeden velkej problém v příkladu 3). Proč?
Otázka zní - je 1 prvočíslo?

1 jako prvočíslo nepovažujeme - důvod je ten, že v rozkladu na prvočísla by byli samé 1 , proto ji mezi prvočísla nezařazujeme (problému je samozřejmě více).

Proto si vyslovíme, co rozumíme pod slovem prvočíslo:
Prvočísla jsou ta čísla, která mají právě 2 dělitele (1 a samo sebe).

Ale my víme, že je 1 dělí 2 stejné prvky => 1 dělitel !!

Proto je nutné 1 zakázat.

To ovšem mění řešení:




Závěrem si zkusíme poslední příklad:

Z je množina všech celých čísel, která lze zapsat jako součet dvou druhých mocnin celých čísel.

Řešení je po všem velmi jednoduché:




Chtěla bych se tedy Vás odborníky zeptat, zda je možné to vysvětlit pouze tímto způsobem, případně jaké metody vysvětlení byste použili vy.