Matematické Fórum

Toni · 10. 11. 2009 21:51

Potřebuji vyřešit tuto rovnice:
sinx*cos2x=-1
cos2x si akorát rozložím podle vzorce a dál nevím.Prosím pomoc

halogan · 10. 11. 2009 21:56

Jelikož je obor hodnot obou funkcí <-1, 1>, bude se jednat buď o násobek 1*(-1) nebo (-1)*1.

To už vyřešit nebude tak těžké.

zdenek1 · 10. 11. 2009 22:23

↑ Toni:A kdybys to chtěl dělat potupným výpočtem, tak takto
$\sin x(1-2\sin^2x)=-1$
$2\sin^3x-\sin x-1=0\ \Rightarrow\ (\sin x -1)(2\sin^2x+2\sin x+1)=0$
a dál už to nebude problém

Cheop · 11. 11. 2009 07:13 — Editoval Cheop (11. 11. 2009 07:51)

↑ Toni:
Řešíš toto:
$2\sin^3x-\sin x-1=0\ \Rightarrow\ (\sin x -1)(2\sin^2x+2\sin x+1)=0$
1)
$\sin x-1=0\nl\sin x=1\nlx=\frac\pi2+2k\pi$
2)
$2\sin^2 x+2\sin x+1=0$ nemá řešení v oboru reálných čísel
Řešením původní rovnice:
$\sin x\cdot\cos 2x=-1$ je:
$x=\frac\pi2+2k\pi$

Zkouška:
$\sin\left(\frac\pi2\right)=1\nl\cos\left(\pi\right)=-1$
L: $1\cdot (-1)=-1$
P: $-1$
L=P

Cheop · 11. 11. 2009 09:19 — Editoval Cheop (12. 11. 2009 10:21)

↑ Toni:
Tak krok po kroku
$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-\sin^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x$ (použili jsme goniometrickou jedničku)
To znamená, že z tohoto: $\sin x\cdot\cos 2x=-1$ dostaneš první úpravou $\sin x(1-2\sin^2x)=-1$
Teď tu závorku roznásobíš a dostaneš: $\sin x(1-2\sin^2x)=-1=\sin x-2\sin^3 x+1=0$
Nyní celou rovnici vynásobíme (-1) a dostaneme:
$\sin x-2\sin^3 x+1=0\nl2\sin^3x-\sin x-1=0$
Z tohoto vidíš, že pokud do této rovnice za $\sin x$ dosadíš $1$ bude rovnice platit , to znamená, že z celé rovnice můžeme vytknout výraz:
$\sin x-1$ a dostaneme:
$2\sin^3x-\sin x-1=0=(\sin x-1)(2\sin^2x+2\sin x+1)=0$ dělíme polynom polynomem, když toto roznásobíš opět dostaneš původní rovnici.
Aby byl celý výraz roven nule pak buď je $\sin x-1=0$ nebo $2\sin^2x+2\sin x+1=0$

1)
$\sin x-1=0\nl\sin x=1\nlx=\frac\pi2+2k\pi$

2)
$2\sin^2x+2\sin x+1=0$ substituce $\sin x=t$ a dostaneš :
$2t^2+2t+1=0$ tato kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení.

Řešením tedy je:
$x=\frac\pi2+2k\pi$ při vědomí toho, fce sinus má periodu $2\pi$
nebo

Jde to řešit i pouhou úvahou toho co napsal halogan

halogan napsal(a):
Jelikož je obor hodnot obou funkcí <-1, 1>, bude se jednat buď o násobek 1*(-1) nebo (-1)*1.

Musí platit:
$\sin x=1\,\wedge\,\cos 2x=-1\,\Rightarrow\,x=\frac\pi2+2k\pi$ protože $\sin(\frac\pi2)=1\,\wedge\,\cos(\pi)=-1$
nebo
$sin x=-1\,\wedge\,\cos 2x=1$ $\sin x=-1\,\Rightarrow\,x=\frac{3\pi}{2}$ ale $2x=3\pi$ což je už mimo interval $\left<0\,;\,2\pi\right>$
Řešením je proto jen:
$x=\frac\pi2+2k\pi$

Cheop · 11. 11. 2009 11:28 — Editoval Cheop (11. 11. 2009 11:52)

↑ Toni:
goniometrickou jedničkou se nazývá toto:
$\sin^2 x+\cos^2 x=1\,\Rightarrow\,\cos^2 x=1-\sin^2 x$

Slovně:
Sinus na druhou úhlu plus kosinus na druhou úhlu se rovná jedna.

Ta stříška znamená "a zároveň". tj. musí platit současně.

Sinus x = 1 a současně cos 2x = -1 toto platí pro úhly 90 a 180 stupňů a jakýkoliv násobek 2 pí tj. 360 stupňů (dá se to vyčíst z jednotkové kružnice)

Druhý zápis:
Sinus x = -1 a současně cos 2x = 1.Toto platí pro úhly 270 a 540 stupňů, ale protože úhel 540 st. je větší jak 360 (2pi) nemá tato větev řešení.

Fce sinus a kosinus mají obě periodu 360 stupňů, tj. funkční hodnoty se po této periodě opakují.
Např. tedy platí:
$\sin\,45^\circ=\sin\,405^\circ$

Toni · 11. 11. 2009 17:27 — Editoval Toni (11. 11. 2009 17:29)

↑ Cheop: díky za rady.Jenom mam dotaz:neslo by toto tema smazat aby spoluzaci neopisovali?

Toni · 12. 11. 2009 09:42

Jo tak můj učitel to dělení polynomů nechápe
Takže mi to neuznal

jelena · 12. 11. 2009 10:02 — Editoval jelena (12. 11. 2009 10:05)

↑ Toni:

Zdravím, záleží jakto umiš obhájit:

Vidiš v tom takovou úpravu (bez dělení polynomů)?

$2\sin^3x-\sin x-1=0$ nebo: $2a^3-a-1=0$

$\sin^3x+\sin^3x-\sin x-1=0$ nebo: $a^3+a^3-a-1=0$

----------
téma smazat? - ne, pravidla to neumožňuji, velmi podstatné je, že v tématu je spousta práce od kolegů - a ten čas a námaha smazat jen tak nejde.

Cheop · 12. 11. 2009 10:05

↑ Toni:
Tvůj učitel nechápe, že tento polynom $2a^3-a-1$ se dá rozložit na součin $(a-1)(2a^2+2a+1)$ co to máte za učitele ?

Cheop · 12. 11. 2009 10:11

↑ jelena:
Zdravím
Ten polynom je $2a^3-a-1=0$ Ty tam máš +1 (zřejmě pouze překlep)

jelena · 12. 11. 2009 10:18

↑ Cheop:

Také hezký pozdrav :-) už jsem opravovala (viz můj edit), děkuji.

Učitele bych nekomentovala - buď kolega donese postup a obháji nebo to jen přepsal a nerozumí. A komentář o smazání je velmi nepřijemný (moje ideály jednou budou vystavovat ve Slezském muzeu s komentářem, jak to nemá být a že s takovými názory prospěrující společnost nezbudujeme).

Měj se pěkně :-)

Cheop · 12. 11. 2009 10:24

↑ jelena:
Uznávám, že pokud to ↑ Toni: jen opsal a neví jak k tomu došel,
potom mu učitel výpočet neuznal.

Toni · 12. 11. 2009 12:18

Kolega opsal a chápe ale i tomu učiteli jsem to vysvětloval ale on nechápe to dělení polynomů a pak nechápe to vytknutí sinx-1

jelena · 12. 11. 2009 12:20 — Editoval jelena (12. 11. 2009 12:20)

↑ Toni:

Zdravím, tak sem, prosím, napiš ten Tvůj postup vytknutí (který vysvětlueš učiteli), ať je jasné, co je potřeba případně dokomentovat.

Děkuji.

Toni · 12. 11. 2009 12:21 — Editoval Toni (12. 11. 2009 12:26)

A v polynomu sem se neupsal a učitel prostě nechápe. . . . . Kašlu na to hlavně že je mi ta rovnice jasná. . . A vytknutí no řekl jsem že když si do rovnice dosadím 1 tak bude platit a proto můžu vytknout. . . . . Učitel prostě nechápe už polynomy jak tu psala jelena

jelena · 12. 11. 2009 12:30

↑ Toni:

Já nevím, co jste brali, ale řekla bych, že dělení polynomů pomocí odhadu kořenů (případně Hornerovo schéma) nepatří do běžné výbavy SŠ.

Do běžné výbavy SŠ by měla patřit úprava, která je v příspěvku 9 ↑ jelena:. Zkus tuto úpravu dotahnot do konce.

Ovšem nejsem učitel žádného stupně a moje představa o běžné výbavě SŠ může být silně zkreslena.

Toni · 12. 11. 2009 12:39

Jenomže no nepochopil ani to řešení úvahou. . . . . A kvadráty určitě nepatří do střední školy . . . Učitel je prostě hloupý konec

Cheop · 12. 11. 2009 12:39 — Editoval Cheop (12. 11. 2009 12:55)

↑ Toni:
Když si uděláme substituci
$\sin x=a$ dostaneme rovnici:
$2a^3-a-1=0$
Jedním kořenem této rovnice je $1$ (když do této rovnice tento kořen dosadíme bude ta rovnice platit.)
Můžeme tedy z této rovnice vytknout $a-1$ jinými slovy tuto rovnici tímto výrazem vydělit.

Zkus se podívat sem:
http://www.aristoteles.cz/matematika/vy … lynomu.php
Pro pana učitele i tebe:
http://forum.matweb.cz/upload/1258026866-dpp1.jpg

jelena · 12. 11. 2009 13:06

↑ Cheop:

Ještě jednou hezký pozdrav :-)

Já bych se držela své metody ze Zahrádek - dělení mnohočlenu mnohočleném vyžaduje schopnost odhadu kořenu. Vytykání po dvojicích nevyžaduje nic a bere se na ZŠ i na SŠ (1. ročník).

$\sin^3x+\sin^3x-\sin x-1=0$

$\sin^3x-\sin x+\sin^3x-1=\sin x(\sin^2 x-1)+(\sin^3 x-1)=\nl=\sin x\boxed{(\sin x-1)}(\sin x+1)+\boxed{(\sin x-1)}(\sin^2+\sin x +1)=(\sin-1)\(\sin^2x+\sin x+\sin^2x+\sin x +1)$

Pokud nepřesvědčim učitele, tak alespoň potěším ***Mariana***

------
dnes budu v práci až odpoledne, tak jsem dopoledne našla takovou perlu - tu báseň v proze, co odřikává vzorná slečna, umím ještě teď celou :-)

Toni · 12. 11. 2009 13:15

To je zbytečné,je to už prohraný boj.Bohužek učitrl nrchápe a nechápe.Kašlu na něj.Alespoň že t o cháou já.

jelena · 12. 11. 2009 14:08

↑ Toni:

Asi to neovlivníme - a je zbytečné učitele rozčilovat, nemá to lehké (možna bude vhodná přiležitost toto zadání rozebrat v klidnějších podminkach nebo to, co bylo doporučeno od kolegů, použit při jiné vhodné přiležitosti).

Toni · 12. 11. 2009 15:13

Takže mi řekl že kvadráty neumíme a to dosazeni 1 za sin x -1 je sice dobře, ale je to uhodnuté řešení. Ano, je to sice pravda, ale 1 byla nejpravděpodobnější.a ty úpravy mnohočlenů,které tu byly zmíněny právě vycházejí z úpravy dosazenim 1. Tento příklad jde řešit i grafem nebo úvahou ale to také nechce. Je tato rovnice tedy na úrovni střední školy neřešitelná?

jelena · 12. 11. 2009 15:39 — Editoval jelena (12. 11. 2009 15:41)

↑ Toni:

Moje úprava mnohočlenu nevychází z úpravy dosazením (1) - viz příspěvek 9, 20.

Buď umíš rozložit $2a^3-a-1=0$ na součín činitelů (za použití všech doporučení, co zde býlo, + užitečné vzorce) nebo to neumíš, v tom případě bych doporučovala, abys vyslovil omluvu svému učiteli.

Úprava této rovnice na součin nepřesahuje úpravu algebraických výrazu z 1. ročníku SŠ (Viz sbírka Janečka).

Toni · 12. 11. 2009 16:16

↑ jelena:ok, omluvit by se mi měl on za to, že žádal příklad, který ani sám neumí vyřešit. Vy mi tedy radite, abych rozložil 2 a na 3ví na 2*a*a* a podobně a pak to zabudoval do rovnice? Stejně ale potom dojdu k vytknutí 2sin x -1 za předpokladu že se to rovná jedné.Jenže to by zase platilo ale je to jedno z mnoha řešení a tudíž zase odhad.Omlouvám se že píšu možná hlouposti, ale na mobilu, kde nevidím předchozí příspěvek se to může stát.

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2009 21:51

Goniometrická rovnice

#2 10. 11. 2009 21:56

Re: Goniometrická rovnice

#3 10. 11. 2009 22:23

Re: Goniometrická rovnice

#4 11. 11. 2009 07:13 — Editoval Cheop (11. 11. 2009 07:51)

Re: Goniometrická rovnice

#5 11. 11. 2009 09:19 — Editoval Cheop (12. 11. 2009 10:21)

Re: Goniometrická rovnice

halogan napsal(a):

#6 11. 11. 2009 11:28 — Editoval Cheop (11. 11. 2009 11:52)

Re: Goniometrická rovnice

#7 11. 11. 2009 17:27 — Editoval Toni (11. 11. 2009 17:29)

Re: Goniometrická rovnice

#8 12. 11. 2009 09:42

Re: Goniometrická rovnice

#9 12. 11. 2009 10:02 — Editoval jelena (12. 11. 2009 10:05)

Re: Goniometrická rovnice

#10 12. 11. 2009 10:05

Re: Goniometrická rovnice

#11 12. 11. 2009 10:11

Re: Goniometrická rovnice

#12 12. 11. 2009 10:18

Re: Goniometrická rovnice

#13 12. 11. 2009 10:24

Re: Goniometrická rovnice

#14 12. 11. 2009 12:18

Re: Goniometrická rovnice

#15 12. 11. 2009 12:20 — Editoval jelena (12. 11. 2009 12:20)

Re: Goniometrická rovnice

#16 12. 11. 2009 12:21 — Editoval Toni (12. 11. 2009 12:26)

Re: Goniometrická rovnice

#17 12. 11. 2009 12:30

Re: Goniometrická rovnice

#18 12. 11. 2009 12:39

Re: Goniometrická rovnice

#19 12. 11. 2009 12:39 — Editoval Cheop (12. 11. 2009 12:55)

Re: Goniometrická rovnice

#20 12. 11. 2009 13:06

Re: Goniometrická rovnice

#21 12. 11. 2009 13:15

Re: Goniometrická rovnice

#22 12. 11. 2009 14:08

Re: Goniometrická rovnice

#23 12. 11. 2009 15:13

Re: Goniometrická rovnice

#24 12. 11. 2009 15:39 — Editoval jelena (12. 11. 2009 15:41)

Re: Goniometrická rovnice

#25 12. 11. 2009 16:16

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí