Matematické Fórum

Miky · 22. 11. 2009 13:24

Dobrý den,
prosím o pomoc s výpočtem limity funkce.

lim (sinx + 2x^2 * cos 2x + 3x^2 * ctg3x) /2x

postupovala bych rozkladem zlomku abych mohla části upravit dle vět.

lim sinx + 2x/2x * (cos 2x + 3x^2 * ctg3x)

a dál si nevím rady.

prosím o radu jak postupovat při řešení této limity.

Děkuji

Tychi · 22. 11. 2009 14:06 — Editoval Tychi (22. 11. 2009 14:06)

↑ Miky:Není mi jasný tvůj rozklad a vlastně ani zadání, x se blíží kam? K nule, nekonečnu, ..?
$\lim_{x\rightarrow ?}\frac{sin x + 2x^2\cdot cos 2x + 3x^2\cdot cotg 3x}{2x}$

Miky · 22. 11. 2009 14:35

blíží se k nule.

Tychi · 22. 11. 2009 14:58

V tom případě se to tedy roztrhne na tři části
$\lim_{x\rightarrow 0}$\frac{sin x}{2x} + x\cdot cos 2x + \frac 32\cdot x\cdot cotg 3x$$
První limita je dost známá, do druhé části lze bez problémů dosadit, a třetí limitu lze řešit pomocí L'Hospitalova pravidla.

Miky · 22. 11. 2009 15:37

budu mit asi blby dotaz. Jak jsi prisel na ty 3/2? První dvě limity jsem snad pochopila, první vyjde 1/2, druhá bude 0 ?

Nestor10

↑ Miky:
Rozložil zlomek na součet tří zlomků se stejným jmenovatelem, zkrátil co se dalo a to co napsal je jen přepis tvého původního zadání.

$\frac{sin x + 2x^2\cdot cos 2x + 3x^2\cdot cotg(3x)}{2x}=\frac{sin x}{2x} + x\cdot cos 2x +\frac{3x^2 \cdot cotg(3x)}{2x}$

A tedy stačí již jen spočíst jednotlivé tři limity.

první vyjde 1/2
druhá 0
třetí dle LP 1/2

Výsledek je 1.

Tychi · 22. 11. 2009 15:47

↑ Miky:Ano. NA třetí třeba toho L'Hospitala s tím, že si cotg přepíšeš jako 1/tg

Miky · 22. 11. 2009 16:02

Dekuji moc jsi poklad

Maca · 30. 11. 2009 22:10

Dobrý večer,
mám naprosto stejný příklad.
Postupně mi vyšlo:

1/2 * sin x/x + x*cos2x/1 + 3x*cotg3x/2 což by mělo být totéž, co psala Tychi

ale pak dál už to asi počítám špatně (výsledek vím, ale chci pochopit postup).

ta limita se blíží k nule, ale není nula. Takže když si představím x jako například 0,001, jak z toho zjistím sin 0,001?
Vím, že sin x/x musí vyjít 1, ale cesta mi uniká.
Vysvětlíte mi to, prosím?
Děkuji.

halogan · 30. 11. 2009 22:14

↑ Maca:

Ona se neblíží k nule. "Blíží" se podílu $\frac 00$ , což je nedefinovaný výraz. Když si ale dané funkce nakreslíš, tak zjistíš, že v jistém okolí bodu [0;0] jsou prakticky identické - jejich podíl tedy bude 1.

Je to tabulková limita, dá se ověřit třeba L'Hospitalovým pravidlem.

Maca · 30. 11. 2009 22:56

Asi neumím pořádně použít HP.
Celou dobu jsem teď znovu hledala v učebnicích i na internetu. Všechny mě dostupné příklady jsou s mocninami, o tabulkové limitě ani ťuk.
Pořád mi tam "vadí" ten sin.
Šlo by to, prosím, ještě trochu polopatyčtěji vysvětlit. Děkuji

Tychi · 30. 11. 2009 22:58

↑ Maca:A jak používáš L'Hospitala? Můžeš to nějak napsat?

Maca · 30. 11. 2009 23:07

Ještě jsem ho nepoužila, ale jak tomu rozumím: omlouvám se za ne moc matematickou terminologii
dosazením do zlomku limity mi musí vyjít 0/0 nebo oo/oo

pak mocninu dám před neznámou a původní mocninu o 1 snížím (obojí se týká čitatele i jmenovatele)

to bych opakovala do "vymizení "mocnin a dále počítala jen s koeficienty neznámých.
Je to správně?

Kondr · 30. 11. 2009 23:14

↑ Tychi:Jen bych doplnil, že počítáme $\lim_{x\rightarrow 0}$\frac{sin x}{2x} + x\cdot cos 2x + \frac 12\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\cdot \cos 3x$$ , což je jen dvojí využití tabulkové limity $\frac{sin x}{x}$ .

Jakkoliv nemám rád vzorečky, používat tuto limitu bez odvozování stále dokola mi připadá rozumné.

Maca · 30. 11. 2009 23:28

Prosím, chápu dobře to HP?
Nebo má napsat nějaký příklad, pokud jsem to napsala jak Tatar?
Je nějaký www odkaz na "tabulkovou limitu"?
Děkuji.

Kondr · 01. 12. 2009 00:33

↑ Maca:"mocninu dám před jmenovatele ..." -- to funguje jen u mocninných funkcí. Obecně jmenovatele i čitatele derivuješ. Opravdu derivace $x^n$ je $nx^{n-1}$ , ale derivace $sin(x)$ je $cos(x)$ . Proto $\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}x=\lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1x^0}=\frac 11$ .

Maca · 01. 12. 2009 08:32

Děkuji, přesně tohle jsem potřebovala.

Maca · 01. 12. 2009 16:01

Dobré odpoledne,
nějak se z toho nemohu vyhrabat. Jde mi o poslední - třetí limitu.

lim (x jde k nule) 3x * cotg (3x) / 2

¨Derivace (cotg x) by měla být -1/sin^x

ale jak se dopracuji k (3x/sin3x) *cos3x ? (tu 1/2 chápu)
Prosím, pomůžete mi?

u_peg · 01. 12. 2009 16:13

$\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

u_peg · 01. 12. 2009 16:16

$\lim_{x \to 0}3x\frac{\mathrm{cotg}(3x)}{2} = \lim_{x \to 0}3x\mathrm{cotg}(3x)\frac{1}{2} = \lim_{x \to 0}3x\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\frac{1}{2}$

Maca · 01. 12. 2009 17:24

můžete, prosím, pokračovat...

u_peg · 01. 12. 2009 18:06

$\lim_{x \to 0}3x\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\frac{1}{2} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\sin(3x)}\frac{\cos(3x)}{2} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}}\frac{\cos(3x)}{2}= \frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}$
$\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = 1$ - je to tabulkova limita, alebo sa to da vypocitat l'Hospitalom

Maca · 01. 12. 2009 19:00

Moc děkuji :)

Maca · 03. 12. 2009 12:28

Dobrý den
můžete mi, prosím zkontrolovat postup? x jde k "0"

1 sin x 2x^2 * cos 2x 3x^2 * ctg 3x 1 cos x 2x^2 * 2(-sin x) 3x^2 * (-1/sin^2x)
lim -- * ------ + ---------------- + -------------- = lim -- * ------- + ----------------- + ---------------------- =
2 x 2x 2x 2 1x^0 2x 2x

1 1 2 (2x^1)*0 1 6x^1 * (-1/0)
=( --- * ------- ) + ( ---- * ------------ ) + ( ------ * ----------------------) = 1/2 + (1 * 0/1) + (1/2 * ?/1 )
2 1 2 1x^0 2 1x^0

Mě tam ta 1/1 nevychází...... Poradíte mi, prosím, kde dělám chybu?
Děkuji.

Tychi · 03. 12. 2009 12:52

↑ Maca:To počítáš L'Hospitalem? Pokud ano, tak musíš pořád derivovat vršky i spodky celé. Derivace součinu totiž vypadá jinak než jako součin derivací.
Ve druhém a třetím zlomku je dle mého lepší rovnou pokrátit to x a pak ty limity spočítat jednodušeji.

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2009 13:24

Limita funkce

#2 22. 11. 2009 14:06 — Editoval Tychi (22. 11. 2009 14:06)

Re: Limita funkce

#3 22. 11. 2009 14:35

Re: Limita funkce

#4 22. 11. 2009 14:58

Re: Limita funkce

#5 22. 11. 2009 15:37

Re: Limita funkce

#6 22. 11. 2009 15:44 — Editoval Nestor10 (22. 11. 2009 15:52)

Re: Limita funkce

#7 22. 11. 2009 15:47

Re: Limita funkce

#8 22. 11. 2009 16:02

Re: Limita funkce

#9 30. 11. 2009 22:10

Re: Limita funkce

#10 30. 11. 2009 22:14

Re: Limita funkce

#11 30. 11. 2009 22:56

Re: Limita funkce

#12 30. 11. 2009 22:58

Re: Limita funkce

#13 30. 11. 2009 23:07

Re: Limita funkce

#14 30. 11. 2009 23:14

Re: Limita funkce

#15 30. 11. 2009 23:28

Re: Limita funkce

#16 01. 12. 2009 00:33

Re: Limita funkce

#17 01. 12. 2009 08:32

Re: Limita funkce

#18 01. 12. 2009 16:01

Re: Limita funkce

#19 01. 12. 2009 16:13

Re: Limita funkce

#20 01. 12. 2009 16:16

Re: Limita funkce

#21 01. 12. 2009 17:24

Re: Limita funkce

#22 01. 12. 2009 18:06

Re: Limita funkce

#23 01. 12. 2009 19:00

Re: Limita funkce

#24 03. 12. 2009 12:28

Re: Limita funkce

#25 03. 12. 2009 12:52

Re: Limita funkce

Zápatí