Matematické Fórum

Jestli to spěchá, tak pošlu aspoň nástin prvni ulohy:
Nejprve najdeme ortogonálni bazi. Do ní umístíme vektor x. Pak hledáme lineárni kombinace l1, l2 vektorů u,v,w,x které by byly kolmé k x a byly kolmé navzájem. Můžeme zvolit l1=u+v+w-x=(0,0,0,14). Vektor l2=au+bv+cw+dx musí být kolmý na l1 i x, což lze zapsat pomocí rovnic s vektorovýmy součiny:
(au+bv+cw+dx).(0,0,0,1)=0 a
(au+bv+cw+dx).(4,-5,9,0)=0.
Z těchto dvou vektorových rovnic dostaneme 2 rovnice pro čísla a,b,c,d, jejich rešením dostaneme l2.
Ortogonálni báze je hotova.

Vydělením všech bázových vektorů jejich velikostmi dostaneme ortonormální bázi.

Ještě k tomu třetímu příkladu: z té soustavy rovnic zjistíme, že tím vektorovým prostorem je přímka (samozřejmě procházející počátkem) se směrovým vektorem s=(0,1,-1,0). Průmět P daného vektoru x na tuto přímku je násobkem vektoru s. Navíc pro odchylku f vektorů x a s platí |p|=|x|.cos(f) a z vlastností skalárního součinu x.s=|x|.|s|.cos(f), odtud
|p|=(x.s)/|s|.
Skalární součin zde spočítáme jako součet součinů odpovídajících složek vektorů (7,-4,-1,2).(0,1,-1,0)=0-4+1+0=-3. Proto |p|=3/sqrt(2). Protože p je tvaru (0,t,-t,0), je jeho velikost sqrt(2)|t|=3/sqrt(2), proto t=3/2 nebo t=-3/2. Protože skalární součin vyšel záporný, svírají s a x tupý úhel, proto
t=-3/2, p=(0,-3/2,3/2,0).

Tip/trik: v okamžiku, kdy jsme určili, že pro daný prostor platí x1=x2=0 a x2+x3=0, stačilo v rovině určené osami x2,x3 určit ortogonální průmět vektoru (-4,-1) na přímku x2+x3=0, je to triviální planimetrický obrázek; najdeme tak dvě prostřední složky vektoru p, zbylé dvě jsou rovny nule.

Diky moc,ze mi s tim pomahas,s tim to uz to vypocitam,nevis prosimte jeste tu dvojku

Nemusis se omlouvat,omlouvat se mam ja ,ze sem zapomel rict.Mco ti dekuju ze si mi ty prikaldy osvetlil.Mohl bych te jeste jednou prosimte poprosit jenom o vyreseni tohohle prikladu,moc by si mi pomohl,Nachazi se to na http://img529.imageshack.us/my.php?imag … 30qc6.jpg.

K té první úloze: dimenze toho prostoru je 4, protože 1, x, x^2 a x^3 jsou lineárně nezávislé, naopak každý jiný vektor je jejich lineární kombinací.
Každému vektoru ax^3+bx^2+cx+d lze přiřadit čtveřici (a,b,c,d) a skalární součin pak definovat jako součet součinů odpovídajících prvků čtveřice.
Za ortogonální bázi jinou než v d) můžeme zvolit třeba
x^3+1
x^3-1
x^2
x
Ortonormální bázi z ní vyrobíme snadno:
x^3/sqrt(2)+1/sqrt(2)
x^3/sqrt(2)-1/sqrt(2)
x^2
x
Zbylé úlohy mi píjdou poměrně standardní, kdyby s nimi ale byl problém, rád pomohu.

Součet S vektorových prostorů je vektorový prostor, jehož báze je sjednocením bází jednotlivých prostorů. V tomto případě je to celý náš vektorový prostor P_3, v S leží  1, x, x^2 i x^3 (najít koeficienty lineárních kombinací bázových vektorů je snadné).

Průnik se spočítá tak, že popíšeme oba prostory parametricky (tj. popíšeme je jako lineární kombinace bázových vektorů s obecnými koeficienty) a pak zjistíme, jeké vektory leží v obou VP (tedy dáme tyto parametrické zápisy do rovnosti a zjistíme, pro jaké koeficienty to bude platit)
L:(a,3b,a+2b,a)
W:(c,c,c+d,c+d)
Aby se toto rovnalo, musí být 3b=c, a=c=3b, a+2b=c+d=a, z poslední rovnice b=0 a snadno dopočteme a=b=c=d=0, průnikem je tedy pouze nulový vektor.

K d): normálně násobíme vektory (0,1,2,-1) a (1,0,0,-4), vyjde 0+0+0+4=4, kde je problém?
K f): ty vektory mají v dané bázi tvar (l,3k,2k+l,l). Získáme ho tak, že vezmeme obecný k-násobek prvního vektoru a přičtteme (zde pro "hezčí" znaménko odečteme) l-násobek druhého bázového vektoru. Nyní se z tohoto zápisu pokusíme získat dvě lineárně nezávislé rovnice pro x1, x2, x3, x4 (to jsou složky toho vektoru číslované zleva doprava). Proč dvě? Chceme získat prostor dimenze 2 z prostoru dimenze 4, musíme tedy najít 2 podmínky, každá sníží dimenzi o 1.
První rovnici vidíme hned: x1-x4=0. Druhou můžeme získat tak, že pomocí prostředních dvou složek yjádříme l, které je rovno složce první. Zapsáno s celočíselnými koeficienty to dává 3x3-2x2-3x1=0.

Ahojte,
Prosim Vás nemohli byste mi pomoc s těmito 3 příklady.V pondělí píšu započták a tomu nějak nerozumím,Poděkování směřuje těm co se tomu bude zabývat a obětuje svuj čas k vyřešení těhle 3přikladu.Jinak ty priklady jsem se šoupla semka na http://www.uloz.cz/show/file/15801-t1.JPG

Nazdar, nevim jak jinym ale mne ten odkaz nefunguje

Takže:
1. jak se počítá průnik a součet VP jsem psal o pár příspěvků výš.
2. jádro je množina takových vektorů, že jejich obrazem je nulový vektor. Pro x,y,z tedy musí být x+y=0,x+z=0,x+y=0,z=0, řešením soustavy zjistíme, že jádro obsahuje pouze (0,0,0).
Obraz homomorfizmu je množina všech vektorů, které lze dostat. Ze zápisu (x+y,y+z,x+z,z) vidíme, že všechny tyto vektory lze zapsat jako x(1,0,1,0)+y(1,1,0,0)+z(0,1,1,1), obrazem je tedy VP s bází
(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,1,1,1).
Jinak o matici zobrazení jsem už taky psal výše... ale pro jistotu:
vektor (x,y,z) se zobrazí na (x+y,-y-z,z,x+z), takže ta matice je
1  1  0
0 -1 -1
0  0  1
1  0  1

3. Nevím co znamená, když je skalární součin zadán maticí :( Zkusím to někde najít, poprosím ale nějakého zkušenějšího matematika (Lishaaku?) aby zkusil Lucce odpovědět.

ad 3. Tak to ani tak dlouho netrvalo, a už jsem to našel. Takže ukážu, jak se počítá třeba e1.e2. Zapíše se to takto:



               1  i/2 0 0        0
(1,0,0,0) -i/2  1   0 0      1     =i/2
              0  0   2 -i         0
               0  0   i  2        0
(Pokud to není ze zápisu vidět, tak násobím transponovaný vektor e1 s maticí zobrazení a následně s vektorem e2.)

Součin bázových vektorů e1, e2 je proto nenulový, báze vzhledem k součinu ortogonální není. Velikost vektoru v se spočítá tak, že spočítám skalární součin v.v a výsledek odmocním, v tomto případě musím použít změněnou definici skalárního součinu. Vyčíslení nechám na tobě, doufám, že jsem pomohl.

Tak ještě k 1., zkusím popsat srozumitelněji ten součet a průnik
Součet
Najdeme bázové vektory obou VP - u L2 jsou dané, u L1 řešením soustavy zjistíme, že
x5=0
x2=2x1+x4
x3=2x4+x2
vektory v L2 mají tvar (x1,2x1+x4,2x4+x1,x4,0), bázové vektory jsou proto
(1,2,1,0,0)
(0,1,2,1,0)
Báze součtu je sjednocením bází, tedy
(1,2,1,0,0)
(0,1,2,1,0)
(1,1,1,1,1,)
(-1,1,-1,1,-1)
(2,1,1,2,-1)
Musíme se ale přesvědčit, že je to opravdu báze, tedy že všechny její vektory jsou lineárně nezávislé. Pokud jsou závislé, ty přebytečné vyloučíme.

Průnik
Vektor leží v L2, právě když ho lze zapsat ve tvaru
a(1,1,1,1,1,)+b(-1,1,-1,1,-1)+c(2,1,1,2,-1)
a leží v L1, právě když ho lze zapsat ve tvaru
(x1,2x1+x4,2x4+x1,x4,0).
Aby ležel v průniku (tedy v obou VP současně) musí platit vektorová rovnice
a(1,1,1,1,1,)+b(-1,1,-1,1,-1)+c(2,1,1,2,-1)=(x1,2x1+x4,2x4+x1,x4,0).
Ta představuje 5 rvnic o 5 neznámých, jejich vyřešením získáme x1 a x4, čímž je určen tvar všech vektorů, které v průniku leží.