Matematické Fórum

Dvorka · 26. 11. 2009 18:03

Spočítejte objem tělesa ohraničeného plochami x² + y²+z²=1 , x²+y²=z² , z>0 (kulové souřadnice)

Potřeboval bych s tím pomoct.... za každou radu či výpočet budu rád , dík.

teolog · 27. 11. 2009 14:05 — Editoval teolog (26. 06. 2011 18:17)

Pro tento výpočet je vhodné použít sférické souřadnice:
$x=r\cos\alpha \cos\beta$
$y=r\cos\alpha \sin\beta$
$z=r\sin\alpha$

Těleso vzniklo jako průnik sféry a kužele, který má vrchol ve středu sféry (chtěl jsem vložit obrázek nějakého 3D grafu, ale nepodařilo se mi takový graf vytvořit). Z toho plynou intervaly proměnných:
$r\in(0,1)$
$\beta\in(0,2\pi)$
$\alpha\in(\frac\pi4,\frac\pi2)$

Pro výpočet je při použití sférických souřadnic nutné získat determinant Jacobiho matice.
$\begin{vmatrix}\cos\alpha \cos\beta & -r\cos\beta \sin\alpha & -r\cos\alpha \sin\beta \nlcos\alpha \sin\beta & -r\sin\alpha \sin\beta & r\cos\alpha \cos\beta\nl sin\alpha & r\cos\alpha & 0\end{vmatrix}= \cdots =-r^2\cos\alpha$

Do integrálu je potřeba dosadit absolutní hodnotu toho determinantu, tedy $r^2cos\alpha$

Výsledný integrál má tuto podobu:
$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(r^2\cos\alpha) d\alpha d\beta dr=\cdots=\frac23\pi(1-\frac{\sqrt2}2)$

Poznámky:
1) Nejsem si jistý, jestli ti stačí intervaly u proměnných takto, nebo to mám ještě vysvětlit.
2) Jacobiho matici jsem jen napsal vysvětlení, odkud se vzaly její prvky. Stejně tak jsem neuvedl výpočet determinantu. Mám za to, že by to mělo být jasné. Pokud ne, stačí dát vědět a já to dovysvětlím.
3) Neuvedl jsem postup samotné integrace, ale ten není složitý. V případě obtíží jej můžu rozepsat.

plisna · 27. 11. 2009 14:21

↑ stepan.machacek: duplicitni dotaz - http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=12208

Dvorka · 27. 11. 2009 14:27

↑ stepan.machacek: matici chápu.... kdyby to šlo, tak jestli by jsi mi mohl rozepsat postup samotné integrace... dík moc

teolog

↑ Dvorka:
V takových případech vždycky řeším, jestli to mám natvrdo kompletně napsat. Mám trochu obavu, že dotyčný pak vše jen "tupě" opíše, ale nechápe z toho nic. To je myslím špatně. Tak přesto to rozepíšu, ale zkus se nad tím nějak zamyslet, protože ten integrál opravdu obtížný není. V takovýchto příkladech bývá nejtěžší najít vhodnou substituci a meze.

$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(r^2cos\alpha) d\alpha d\beta dr=\int_0^1\int_0^{2\pi}[r^2sin\alpha]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}d\beta dr=\int_0^1\int_0^{2\pi}r^2(1-\frac{\sqrt2}2)d\beta dr=$
$=\int_0^1[r^2\beta(1-\frac{\sqrt2}2)]_0^{2\pi}dr=\int_0^12\pi r^2(1-\frac{\sqrt2}2)dr=[2\pi \frac{r^3}3(1-\frac{\sqrt2}2)]_0^1=\frac23\pi(1-\frac{\sqrt2}2)$

Dvorka · 27. 11. 2009 15:06

↑ stepan.machacek: ok.... zkusím to vypočítat a případně (tubě) opíši, když uvidím, že to nemá cenu :)

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2009 18:03

Spočítejte objem tělesa

#2 27. 11. 2009 14:05 — Editoval teolog (26. 06. 2011 18:17)

Re: Spočítejte objem tělesa

#3 27. 11. 2009 14:21

Re: Spočítejte objem tělesa

#4 27. 11. 2009 14:27

Re: Spočítejte objem tělesa

#5 27. 11. 2009 14:58 — Editoval stepan.machacek (27. 11. 2009 15:00)

Re: Spočítejte objem tělesa

#6 27. 11. 2009 15:06

Re: Spočítejte objem tělesa

Zápatí