Matematické Fórum

Ujo · 01. 12. 2009 22:57

Prosím o pomoc s řešením následujících příkladů:

1) Hmotný bod hmotnosti m leží na nakloněné rovině pod úhlem alfa a je zabržděn. Po odbrždění se dá do pohybu. Po uražení dráhy l narazí na pružinový tlumič o neznámé tuhosti k .Součinitel tření mezi hmotným bodem a nakloněnou rovinou je f.
Spočítejte neznámou tuhost pružiny k , jestliže dojde k zastavení hmotného bodu po stlačení pružiny o délku L .

v0 = 4ms^-1
l= 3 m
f= 0,1
L= 0,6 m
m= 60 kg
alfa = 30°

2) Válec o poloměru R, momentu setrvačnosi I, rotuje počátečními otáčkami n0. Proti směru pohybu začne působit brzdným momentem Mb, jehož velikost je lineární funkcí úhlové rychlosti (Mb=b*omega).
Určete: 1) Počet otočení Nz tělesa do okamžiku, kdy otáčkyk lesnou na hodnotu n1.

I=7,2 kg
R= 0,1 m
n0= 900 ot.min^-1
n1= 30 ot.min^-1

Předem díky

Ivana · 02. 12. 2009 07:36

↑ Ujo:

Zadání 1. příkladu je napsáno docela šalamounsky ...

tak zatím jenom obrázek , jestli je má představa správná ? :

Ivana · 02. 12. 2009 07:50

↑ Ujo:

Ke 2. příkladu :

Ujo · 02. 12. 2009 11:06

↑ Ivana:
Přikládám obrázky k zadáním (včera jsem je ještě neměl k dispozici)

zdenek1 · 02. 12. 2009 11:23

↑ Ujo:
1. Ze zákona zachování energie: Počáteční potenciální enrgie $E_{p1}=mg(l+L)\sin\alpha$ se přemění na práci tření $W_t=fmg (L+l)\cos\alpha$ a na potenciální energii pružiny $E_{p2}=\frac12kL^2$ , což dává rovnici
$mg(l+L)\sin\alpha=fmg (L+l)\cos\alpha+\frac12kL^2$ a z toho už $k$ snadno spočítáš.

Ale jsem zmaten. Podle textu je počáteční rychlost $v_0=0$ (je zabržděn). V číselných údajích uvádíš $v_0=4 m/s$ . Takže kdyby tam byla nenulová počáteční rychlost, musíš přidat na levou stranu kinetickou energii $E_{k1}=\frac12mv_0^2$

Ujo · 02. 12. 2009 11:29

↑ zdenek1:
Jojo, taky mě to mate, ale zadání je opravdu takovéto. Nulová tychlost v textu, a nenulová v číselném zadání.
Díky

zdenek1 · 02. 12. 2009 13:56

↑ Ujo:
Pohybová rovnice $M=I\frac{d\omega}{dt}$ , po dosazení a uvážení směru $-b\omega=I\frac{d\omega}{dt}$ . Určíme $\omega(t)$ separací proměnných.
$-\frac bI dt=\frac{d\omega}\omega\ \Rightarrow\ \int-\frac bI dt =\int\frac{d\omega}\omega\ \Rightarrow\ -\frac bI t= \ln\omega +K$
Vzhledem k počáteční podmínce $\omega(0)=\omega_0$ , $K=-\ln\omega_0$ a upravíme
$(1)$ $t=-\frac Ib\ln\frac{\omega}{\omega_0}$ nebo
$(2)$ $\omega=\omega_0\cdot e^{-\frac bI t}$
Protože platí $\varphi=\int\omega dt$ , z $(2)$ vypočítáme $\varphi=\int \omega_0\cdot e^{-\frac bI t} dt=-\frac{I\omega_0}b\cdot e^{-\frac bI t}+C$ . Počáteční podmínka $\varphi(0)=0$ dává $C=\frac{I\omega_0}b$ a po úpravě
$(3)$ $\varphi=\frac{I\omega_0}b(1-e^{-\frac bI t})$

Nyní do $(3)$ dosadíš z $(1)$ a určíš počet otočení jako $N=\frac\varphi{2\pi}$

Poznámky: V zadání je $I=7,2\ kg$ což je pitomost. Buďto je špatně jednotka, nebo veličina. Pokud je to hmotnost, musíš $I$ vypočítat podle vztahu, který uvedla Ivana na obr. 2.
Stejně chybí číselný údaj pro $b$ .

Frygida · 30. 12. 2010 17:30

Dobrý den, prosím o pomoc s tímto příkladem, myslím si že je příklad podobný:
Kostku o hmotnosti 12 kg položíme na rovinu která svírá s vodorovnou rovinou úhel alfa 30°. Na rovině je pružina jejíž tuhost je 13,5 KN/m. V určitém okamžiku je kostka odbrzděna. V okamžiku, kdy je rychlost kostky nulová je pružina stlačena o 5,5 cm. Tření se neuvažuje.

1. Jakou rychlostí narazila kostka do pružiny?
2. Jakou dráhu urazila kostka do okamžiku kdy je její rychlost nulová.

Děkuji.

zdenek1 · 30. 12. 2010 18:02

↑ Frygida:
Příklad je skutečně podobný, takže ho počítáš podobně.
2) $mg(x+L)\sin\alpha=\frac12kL^2$ , kde $L$ je stlačení pružiny a $x$ hledaná dráha. Když máš $x$ , tak
1) $\frac12mv^2=mgx\sin\alpha$

Frygida · 30. 12. 2010 18:12

↑ zdenek1: Děkuji moc a přeji krásný a šťastný Nový rok

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2009 22:57

Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#2 02. 12. 2009 07:36

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#3 02. 12. 2009 07:50

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#4 02. 12. 2009 11:06

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#5 02. 12. 2009 11:23

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#6 02. 12. 2009 11:29

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#7 02. 12. 2009 13:56

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#8 30. 12. 2010 17:30

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#9 30. 12. 2010 18:02

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

#10 30. 12. 2010 18:12

Re: Dynamika - nakloněná rovina s pružinou a rotující rálec

Zápatí