Matematické Fórum

martanko · 04. 12. 2009 21:04

korene polynomu $h(x)=x^3-3x^2-2x-1$ oznacme $c_1, c_2, c_3$ . Vypocitaj hodnotu vyrazu $(c_1-c_2)^2+(c_2-c_3)^2+(c_1-c_3)^2$

netusim ako zacat, ale viem ze kubicku rovnicu nebudeme ratat

plisna · 04. 12. 2009 21:12

↑ martanko: musi se to udelat aniz bychom nalezli koreny daneho polynomu?

martanko · 04. 12. 2009 21:23

jj..presne tak

jelena · 05. 12. 2009 00:18

↑ martanko:

Zdravím :-)

Snad takto - pokud jsou kořeny polynomu, tak je možné napsat tento rozklad: $x^3-3x^2-2x-1=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)$ po otevření závorek se vytvoří soustava z koeficientů před jednotlivými mocninami x zleva a zprava.

Je možné? (zda vznikne nějaká pěkná úprava, která by se dala rovnou použit na výpočet hodnoty výrazu, to jsem nezkoušela).

martanko · 05. 12. 2009 01:11

↑ jelena:
zdravim :)

uz no horko tazko, no po nastudovani teorie uz mam vysledok :) takze riesenie aby som nebol nic dlzny

mame $f(x)=x^3-3x^2-2x-1$ hodnotu vyrazu urcime nasledovne:

z teorie plati:
$\delta_1 = -(-3)=3=c_1 + c_2 +c_3$
$\delta_2 = -2 = c_{1}c_2 + c_{1}c_3 +c_{2}c_3$
$\delta_3 = -(-1) =1=c_{1}c_{2}c_{3}$

zacneme upravovat vyraz $(c_1 - c_2)^2 + (c_1 - c_3)^2 + (c_2 - c_3)^2 = c_{1}^2-2c_{1}c_{2}+c_{2}^2 + c_{1}^2 - 2c_{1}c_{3} + c_{3}^2 + c_{2}^2 -2c_{2}c_{3} +c_{3}^2=2(c_{1}^2 + c_{2}^2 + c_{3}^2) - 2(c_{1}c_{2} +c_{1}c_{3} + c_{2}c_{3} )$ $*$

potrebujeme vyjadrit vyraz $c_{1}^2 + c_{2}^2 + c_{3}^2$

$\sum c_{1}^2 = c_{1}^2 + c_{2}^2 + c_{3}^2$ potom
$\delta_{1}^2 = (c_1 + c_2 +c_3)(c_1 + c_2 +c_3) =...$ po upravach $...= 2(c_{1}c_2 + c_{1}c_3 +c_{2}c_3) + \sum c_{1}^2$

$\sum c_{1}^2 - ( \sum c_{1}^2 +2 \delta_{2}) = -2 \delta_2$

cize $\sum c_{1}^2 = c_{1}^2 + c_{2}^2 + c_{3}^2 = \delta_{1}^2-2 \delta_{2}$

vratime sa do povodneho vypoctu $*$ vlastne uz len dosadzame.. $2(\delta_{1}^2-2 \delta_{2}) - 2 \delta_{2} = 2(3^3 - 2.(-2))-2(-2) = 2(9+4)+4 = 2.13+4=26+4=30$

takze odpoved na otazku comu sa rovna hodnota vyrazu $(c_1 - c_2)^2 + (c_1 - c_3)^2 + (c_2 - c_3)^2 = 30$

martanko · 05. 12. 2009 01:12

este poznamka: bolo treba vyuzit symetricke polynomy

Wotton · 05. 12. 2009 01:28

Tak jsem si s tím trochu pohrál a vychází mi tohle:
Nejprve si upravím
$(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)\ =\ x^3-x^2(c_1+c_2+c_3)+x(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)-c_1c_2c_3$
to znamená, že:
$(c_1+c_2+c_3)\ =\ 3\nl (c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)\ =\ -2\nl c_1c_2c_3\ =\ 1$

Dále upravím
$(c_1-c_2)^2+(c_2-c_3)^2+(c_1-c_3)^2\ =\ 2(c_1^2+c_2^2+c_3^2-(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3))$

Poslední úprava bude že
$(c_1+c_2+c_3)^2\ =\ c_1^2+c_2^2+c_3^2+2(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)\nl c_1^2+c_2^2+c_3^2\ =\ (c_1+c_2+c_3)^2-2(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)$

A teď už jen dosazování
$(c_1-c_2)^2+(c_2-c_3)^2+(c_1-c_3)^2\ =\ 2((c_1+c_2+c_3)^2-2(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)-(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3))\nl (c_1-c_2)^2+(c_2-c_3)^2+(c_1-c_3)^2\ =\ 2((c_1+c_2+c_3)^2-3(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3))\nl (c_1-c_2)^2+(c_2-c_3)^2+(c_1-c_3)^2\ =\ 2(3^2-3(-2))$

martanko · 05. 12. 2009 09:34

↑ Wotton:
v podstate ano, tiez ti to vyslo 30 :)

Wotton · 05. 12. 2009 15:01

↑ martanko:
Ono, jak jsem to přelít, tak jsme oba použili stejnou myšlenku. Co mně ale zaujalo, že za celou dobu se nepoužije rovnost $c_1c_2c_3\ =\ 1$ . To znamená, že to vyjde stejně pro každou $f(x)=x^3-3x^2-2x-a$ a libovolný a.
Zajímavé...

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2009 21:04

korene polynomu

#2 04. 12. 2009 21:12

Re: korene polynomu

#3 04. 12. 2009 21:23

Re: korene polynomu

#4 05. 12. 2009 00:18

Re: korene polynomu

#5 05. 12. 2009 01:11

Re: korene polynomu

#6 05. 12. 2009 01:12

Re: korene polynomu

#7 05. 12. 2009 01:28

Re: korene polynomu

#8 05. 12. 2009 09:34

Re: korene polynomu

#9 05. 12. 2009 15:01

Re: korene polynomu

Zápatí