Matematické Fórum

slca · 06. 12. 2009 14:20 — Editoval slca (06. 12. 2009 14:28)

Zdravím vás potřeboval bych pomoc s příkladem: Vypočtěte obsah rovinného obrazce A, je-li A={[x,y]patří do E2 , x>0, e^x<y<e^pi}
díky za každou pomoc

Olin · 06. 12. 2009 16:01

Podívej se na to, jak ten obrazec A vypadá (WolframAlpha to vykresluje trochu nešťastně, ale strávit se to dá). Je z toho patrné, že se ten obsah dá vypočíst jako obsah jednoho většího obrazce mínus obsah toho, co jsme přidali. Oboje se spočte snadno obyčejným jednorozměrným integrálem podle x (ten větší dokonce i bez integrování :-).

slca · 06. 12. 2009 16:51

díky za radu, bohužel to máme řešit pouze přes Greenovu větu a nějak se pořád nemužu dopracovat ke správnému výsledku

Olin · 06. 12. 2009 17:15

Tak to radši ať poradí někdo povolanější, Greenovou větou nevládnu.

kaja(z_hajovny) · 06. 12. 2009 17:36

↑ slca:
a jak to teda pocitate? dejte sem postup.

plisna · 06. 12. 2009 18:27

↑ slca: gaussova veta vyjadruje vztah mezi krivkovym integralem druheho druhu po uzavrene krivce $k$ a dvojnym integralem pres oblast $D$ , ktera je ohranicena krivkou $k$ , tedy $\int_k P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ za podminky spojitosti vsech integrandu. me napada toto: v nasem pripade potrebujeme $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ , abychom spocetli dvojnym integralem danou oblast. zvolme tedy $P(x,y) = y$ a $Q(x,y) = 2x$ , pak je predchazejici podminka splnena a plati, ze $\int_k y\,\mathrm{d}x + 2x\,\mathrm{d}y = \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ . krivkovy integral spocteme ve trech krocich po castech:

1. parametrizace $x(t) = t$ , $y(t) = \mathrm{e}^t$ , $t \in \langle 0, \pi \rangle$ . pak $I_1 = \int_{k_1} y\,\mathrm{d}x + 2x\,\mathrm{d}y = \int_0^{\pi} (\mathrm{e}^t, 2t) \cdot (1, \mathrm{e}^t)\,\mathrm{d}t = \dots = 2\pi \mathrm{e}^{\pi} -\mathrm{e}^{\pi}+ 1$

2. parametrizace $x(t) = t$ , $y(t) = \mathrm{e}^{\pi}$ , $t \in \langle \pi, 0 \rangle$ . pak $I_2 = \int_{k_2} y\,\mathrm{d}x + 2x\,\mathrm{d}y = \int_{\pi}^0 (\mathrm{e}^{\pi}, 2t) \cdot (1, 0)\,\mathrm{d}t = \dots = -\pi \mathrm{e}^{\pi}$

3. parametrizace $x(t) = 0$ , $y(t) = t$ , $t \in \langle \mathrm{e}^{\pi}, 1 \rangle$ . pak $I_3 = \int_{k_3} y\,\mathrm{d}x + 2x\,\mathrm{d}y = \int_{\mathrm{e}^{\pi}}^1 (t, 0) \cdot (0, 1)\,\mathrm{d}t = 0$

hledany obsah daneho obrazce je tedy dan souctem tri krivkovych integralu 2. druhu $P = I_1 + I_2 + I_3 = \pi \mathrm{e}^{\pi} - \mathrm{e}^{\pi} + 1$ .

tento vysledek se snadno overi vypoctem pres "standardni" dvojny integral: $P = \int_0^{\pi} \int_{\mathrm{e}^x}^{\mathrm{e}^{\pi}}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \pi \mathrm{e}^{\pi} - \mathrm{e}^{\pi} + 1$

Kondr · 13. 12. 2009 16:14

↑ plisna: Je nějaký důvod, proč nezvolot Q(x,y)=x a P(x,y)=0?

plisna · 13. 12. 2009 18:37

↑ Kondr: predpoklady vyzaduji pouze spojitost parcialnich derivaci, takze by to slo - zkusil jsem to na papir a vypocty tech krivkovych integralu se krasne zredujuci, protoze dva z nich jsou na prvni pohled nulove, takze zvolit P a Q dle tveho navrhu lze durazne doporucit, pokud si tedy dotycny nechce procvicit krivkove integraly :)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2009 14:20 — Editoval slca (06. 12. 2009 14:28)

Greenova věta

#2 06. 12. 2009 16:01

Re: Greenova věta

#3 06. 12. 2009 16:51

Re: Greenova věta

#4 06. 12. 2009 17:15

Re: Greenova věta

#5 06. 12. 2009 17:36

Re: Greenova věta

#6 06. 12. 2009 18:27

Re: Greenova věta

#7 13. 12. 2009 16:14

Re: Greenova věta

#8 13. 12. 2009 18:37

Re: Greenova věta

Zápatí