Matematické Fórum

Bettina · 09. 12. 2009 20:41

Jsou dány body A(3-p,-3+2p,2) a B(-1,0,-1) určete p reálné tak, aby vzdálenost AB byla co nejmenší.

Předem moc děkuji za pomoc.

Olin · 09. 12. 2009 21:10

Napíšeš si, čemu se rovná vzdálenost těch dvou bodů (v závislosti na p). Určíš, kdy tento výraz nabývá minimální hodnoty. Hotovo.

Bettina · 09. 12. 2009 21:37

ve výsledcích je ale , že p=2.
↑ Olin:

Olin · 09. 12. 2009 21:48

Ano, to je správná odpověď.

Asi se úplně nechápeme. Já neříkám výsledek, jen postup řešení. Jde o to, že musíme vyjádřit
$|AB| = \text{nejaky vyraz s }p$
což uděláš prostě pomocí vzorce pro vzdálenost dvou bodů v prostoru. Pak se snažíme zjistit, pro které p je hodnota toho výrazu co nejmenší. Postupů, jak to udělat, je vícero, proto se rovnou zeptám - umíš derivovat?

zdenek1 · 09. 12. 2009 23:08

↑ Bettina:
Pokud neumíš derivovat, vyjádříš si $d^2$ (d je vzdálenost) jako funkci $p$ ta je kvadratická a najdeš vrchol paraboly z vlasrností kvadratické funkce.

Bettina · 10. 12. 2009 06:26

Derivovat neumím , a stále nechápu, jak se dostanu k číslu 2.↑ zdenek1:

zdenek1 · 10. 12. 2009 11:39

↑ Bettina:
$d=\sqrt{(3-p+1)^2+(-3+2p)^2+(2+1)^2}$
Tato vzdálenost bude nejmenší, když bude minimální výraz pod odmocninou. Máš tak funkci
$y=5p^2-20p+34$
Toto je kvadratická funkce otevřená nahoru, takž má minimuv, a to je ve vrcholu paraboly.
Parabola $y=ax^2+bx+c$ má x-ovou souřadnici vrcholu $x_v=\frac{-b}{2a}$
Analogicky $p_v=\frac{-(-20)}{2\cdot5}=2$