Matematické Fórum

Kein · 09. 12. 2009 21:22

Prosím vás, potřeboval bych poradit s tímto příkladem...

Dokažte matematickou indukcí $(2n)! < 2^{2n} \cdot (n!)^2$

1. a 2. indukční krok chápu, ale ověření mi nejde...resp. nedaří se mi provést ty správné ekvivalentní úpravy...

Prosím o navedení k správnému výsledku...rád bych jednou chtěl dokázat zvládnout jakýkoli příklad pomocí matematické indukce... (ikdyž vím, že dokazovacích způsobů existuje více)...

Děkuji předem za jakoukoli pomoc.

Olin · 09. 12. 2009 22:17 — Editoval Olin (09. 12. 2009 22:20)

První krok (ověření pro n=0 nebo n=1, jak je libo) je snad zřejmý. Potom předpokládáme, že máme platnost tvrzení dokázanou pro n a chceme ji dokázat pro n+1. Často když dokazujeme indukcí nějakou nerovnost v přirozených číslech, řekněme obecně $p_n < l_n$ , stačí nám ukázat, že $\frac{p_{n+1}}{p_n} \leq \frac{l_{n+1}}{l_n}$ pro všechna přirozená n (po tom, co jsme ukázali, že $p_1 < l_1$ nebo $p_0 < l_0$ ). Rozmysli si proč!

EDIT: omlouvám se za poněkud netradiční značení p a l, čím dál víc si pletu levou a pravou stranu (ruku).

Kein · 09. 12. 2009 22:34

Použil jsem n=1 - tedy mi vyšlo, že 2<4

pro n=0 by to bylo 1<1, což by neplatilo...

Potom z tvého znění by ověření znělo:
${(2n+2)! \over (2n)!} < {2^{2n+2} \cdot ((n+1)!)^2 \over 2^{2n} \cdot (n!)^2}$

Olin · 09. 12. 2009 22:40

Pravda, pro n=0 nastává rovnost. Teď se v té nerovnosti dá spousta věcí pokrátit - $(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!$ atd.

Kein · 09. 12. 2009 22:55

Nj...tohle krácení mě nenapadlo...

Potom teda:

${(2n+2)(2n+1) \over 1} < {2^{2n+2} \cdot (n+1)^2 \over 2^{2n}}$

Potom předpokládám, že výsledek bude:

${(2n+2)(2n+1)} < {2^{2n+1} \cdot (n+1)^2}$

Nebo žeby někde chybička?

Olin · 09. 12. 2009 23:39

$\frac{2^{2n+2}}{2^{2n}} = 2^{2n+2-2n} = 4$

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2009 21:22

Matematická analysa (pro faktoriály)

#2 09. 12. 2009 22:17 — Editoval Olin (09. 12. 2009 22:20)

Re: Matematická analysa (pro faktoriály)

#3 09. 12. 2009 22:34

Re: Matematická analysa (pro faktoriály)

#4 09. 12. 2009 22:40

Re: Matematická analysa (pro faktoriály)

#5 09. 12. 2009 22:55

Re: Matematická analysa (pro faktoriály)

#6 09. 12. 2009 23:39

Re: Matematická analysa (pro faktoriály)

Zápatí