Matematické Fórum

Katarina · 10. 12. 2009 13:05

ahojky,

mohla bych poprosit o pomoc s touto goniometrickou rovnicí:

cosx*cos(2x)=cos(4x)*cos(5x)

Když by bylo jen cos(2x), tak se to dá rozložit pomocí vzorce, ale když je cos(4x)*cos(5x)
můžu to vynásobit na cos (20x)???

Olin · 10. 12. 2009 13:48 — Editoval Olin (10. 12. 2009 13:48)

Ne, tak to rozhodně vynásobit nemůžeš. Obecně neplatí nic jako $\cos(ax)\cos(bx) = \cos(abx)$ .

Tady je efektivní využít vzorec $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ - všimneme si, že tu nepříjemnou pravou stranu rovnice (až na vynásobení dvojkou) vlastně dostaneme volbou $\alpha = 9x,\, \beta = x$ , protože pak $\frac{\alpha + \beta}{2} = 5x$ a $\frac{\alpha - \beta}{2} = x$ . Takže dostáváme
$\cos 4x \cdot \cos 5x = \frac 12 \[ \cos 9x + \cos x \]$ .
Analogickou úpravou na pravé straně dostaneme rovnici, kterou už není obtížné vyřešit.

Jinak já mám v tabulkách uveden přímo vzorec
$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac 12 \[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) \]$ ,
ten se sice na SŠ asi neučí, ale je přímým důsledkem výše uvedeného vzorce pro součet kosinů.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2009 13:05

gon.rovnice

#2 10. 12. 2009 13:48 — Editoval Olin (10. 12. 2009 13:48)

Re: gon.rovnice

Zápatí