Matematické Fórum

Pandoslav · 13. 12. 2009 12:47

Dobrý, mám menší problém - konkrétně se to týká vyjádření jedné poloosy elipsy při konstantním obvodu (použil jsem ty přibližné vzorce z wikipedie), ale narazil jsme na potíž při vyjadřování, jelikož jsem tam měl dvě různé mocniny "a". Zkoušel jsem wolfram alpha, ale nějak rezignoval, tak zjednodušeně se jedná o tento případ :
$a + \sqrt{a}b = x$
napadlo mě substituovat a za s^2 a řešit jako kvadratickou rovnici, čímž pro řešení kořenů dostanu tuším dvě funkce:
$s = \frac{-b+\sqrt{b^2+4x}}{2}$
a
:
$s = \frac{-b-\sqrt{b^2+4x}}{2}$
tedy pro a :
$a = [\frac{-b+\sqrt{b^2+4x}}{2}]^2$
a

$a = [\frac{-b-\sqrt{b^2+4x}}{2}]^2$

no otázka je ... jde to tak ? vyšly dvě funkce, kde b je proměnná a x konstanta.

Kondr · 13. 12. 2009 22:17

↑ Pandoslav:Jde to, ale jedno řešení jsme přidsli uměle: protože $s=\sqrt{a}>0$ , je třeba řešení $s = \frac{-b-\sqrt{b^2+4x}}{2}$ zahodit (nevyhoví zkoušce).

Pandoslav · 14. 12. 2009 18:19

díky za odpověd :) fungovalo to :) naneštěstí ten vzorev pro obvod byl jen hodně přibližný, ale už jsem našel lepší - jen pro zajímavost tady zobrazím celé své řešení - znovu : jde o to dokázat, že elipsa při stálém obvodu má největší obsah právě tehdy když se její poloosy rovnají:

vzorec pro obvod (přesnější než ten původní), ze kterého jsem vyšel je Ramanujanův vzorec :
$O = \pi[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$
O je obvod, a; b jsou poloosy elipsy
závislost jedné poloosy na druhé jsem pak vyjádřil takto :
$a= \frac{ -4b + 3\frac{O}{\pi} + \sqrt{ -20b^2 + 12\frac{O}{\pi} + 3(\frac{O}{\pi})^2}}{6}$
grafem je to (za obvod jsem dosadil číslo 5, ať se funkce vykreslí):

nakonec jsem vyjádřil funkci obsahu elipsy, kde jsem za a dosadil právě výše uvedený vzorec :
$S=ab \pi$
a výsledkem je takovýto graf :

modrý graf je závislost obsahu na jedné poloose
červený graf je derivade předchozího grafu (aby bylo zřejmé maximum)
a zelený graf je pro porovnání závislost obsahu kruhu na poloměru
z posledního obrázku už je zřejmé, že elipsa bude mít největší obsah, když se zápis funkce obsahu bude rovnat funkci obsahu kružnice -> když budou mít poloosy stejnou velikost.

Na tohle jsem přišel a doufám, že tam nemám nějaké zásadní chyby, je to úkol do fyziky, jen jsem jej chtěl nějak matematicky zdůvodnit. A děkuju Kondrovi za pomoc, často zapomínám na podmínky.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2009 12:47

vyjádření proměnné

#2 13. 12. 2009 22:17

Re: vyjádření proměnné

#3 14. 12. 2009 18:19

Re: vyjádření proměnné

Zápatí