Matematické Fórum

Pepazdepa · 13. 12. 2009 16:18

Ahoj

Věděl by si někdo rady s těmito příklady?

1. Určete úhel, svíraný vektory E a H rovinné elektromagnetické vlny šířící se v kladném směru osy x pomocí skalárního součinu těchto vektorů.

2. Dokažte, že při odrazu a lomu elektromagnetického vlnění na rozhraní dvou dielektrik je součet energie vlny lomené a odražené roven energii vlny dopadající.

3. Na povrch Měsíce vysíláme ze Země impulsy z rubínového laseru o střední hodnotě pulsního výkonu 100 MW. Rozbíhavost kuželovitého světelného svazku laseru je $\varphi = 10^{-3} rad$ . Vypočítejte efektivní hodnotu intenzity elektrického pole světelného impulsu na povrchu Měsíce při zanedbání absorpce světla zemskou atmosférou a hodnotu pulsního výkonu, získaného v sondě o účinné ploše 1 m^2 postavené na Měsíci kolmo k přicházejícím paprskům. Střední vzdálenost Země-Měsíc je 360 000 km. (Mělo by vyjít 0,608 Vm^-1 resp. 9,82x10^-4 W)

medvidek

1.
Z Maxwellovych rovnic (pro případ rovinných vln) vyplývá
$\mu \vec{H}=\frac{1}{c}\ \vec{n}\times \vec{E}$ , kde $\vec{n}$ je jednotkový vektor ve směru šíření vlny (normálový vektor k vlnoploše).
Pak už je jasné, že $\vec{H} \cdot \vec{E} = 0$ . Dokázalo by se to rozepsaním vektorů po složkách.
Odpověď: Vektory $\vec{H}$ a $\vec{E}$ jsou na sebe kolmé (navíc jsou oba kolmé na směr šíření vlny).

2.
Důkaz se opírá o znalost Fresnelovych rovnic (resp. jejich odvození) pro reflektanci $R$ a transmitanci $T$ . Tyto bezrozměrné veličiny udávají, jakou část energie dopadající rovinné vlny bude mít vlna odražená resp. lomená.
Další krok je jednoduchý, stačí ukázat že $T+R=1$ .

3.
Průměr laserového svazku dopadajícího na Měsíc je $D=\varphi L$ , kde $\varphi$ je rozbíhavost svazku a $L$ je vzdálenost Měsíce.
Průřez laserového svazku dopadajícího na Měsíc je $S=\pi r^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$
Plošná hustota výkonu záření dopadajícího na Měsíc je $I=\frac{P}{S}$ , kde $P$ je výkon laseru.
Sondou detekovaný výkon je $P_{dt}=IS_{dt}$ , kde $S_{dt}$ je účinná plocha sondy. Po dosazení dostaneme výsledek $P_{dt}=9,82 \cdot 10^{-4}\ W$ .

Výše spočtená hustota $I$ je zároveň hustotou toku energie elmag. vlny a dá se vyjádřit jako střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru $\vec S \equiv \vec E \times \vec H$ .
Ctěný čtenář najde bližsí informace i odvození následujícího vztahu ve většině slušných učebnic elektrodynamiky nebo elmag. pole :-)
$I=\left < \left | \vec S \right | \right >=\epsilon_0 c E_{eff}^2$ , kde $\epsilon_0$ je permitivita vakua a $c$ je rychlost světla. Z tohoto vztahu již můžeme vypočíst efektivní hodnotu intenzity el. pole $E_{eff}=\sqrt{\frac{I}{\epsilon_0 c}}$ .
Po dosazení číselných hodnot dostaneme $E_{eff}=0,608 \ Vm^{-1}$ .

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2009 16:18

Elektromagnetické vlny

#2 07. 01. 2010 03:04 — Editoval medvidek (07. 01. 2010 03:07)

Re: Elektromagnetické vlny

Zápatí