Matematické Fórum

Vergil · 14. 12. 2009 16:51

Ahoj,
potřeboval bych pomoc s touto DF:

$y^{(5)}+ 2y^{'''}+y^' = 0$

Jde o to najít všechna řešení této Df

Tychi · 14. 12. 2009 17:29

↑ Vergil:A kam až se ti povedlo postoupit v řešení?

Vergil · 14. 12. 2009 17:46

↑ Tychi:
Tady s touto úlohou jsem ještě nezačal - zatím řeším jednodušší DF. Tento typ jsme na cvičení ještě nebrali takže ani netuším jak na něj :-(
Právě ho máme probrat toto úterý a ve středu je odevzdání projektu což potěší..

Tychi · 14. 12. 2009 17:55 — Editoval Tychi (14. 12. 2009 17:57)

↑ Vergil:charakteristický polynom už ti něco říká?
Přijde mi, že zatím nemá cenu sem řešení psát, když by ti stejně nic neřeklo.

Vergil · 14. 12. 2009 18:07

↑ Tychi:
No to je asi pravda. V zítra bych tomu snad rozumět měl. Tak uvidíme. Každopádně kdyby jsi to měl tak by se to tady nestratilo - a jelikož je odevdání brzy tak bych byl jen rád :-)

plisna · 14. 12. 2009 18:15

↑ Vergil: jak jiz psala ↑ Tychi: - vis, k cemu je dobry charakteristicky polynom a jak jej vyuzit? pokud ano, pak by reseni nemel byt problem. pokud ne, nastudovat. a nezadej nas o cele reseni - prvni krok je vzdy na tobe.

Vergil · 14. 12. 2009 18:39

↑ plisna:
Podívám se na ten polynom. Díky

Tychi · 16. 12. 2009 14:36 — Editoval Tychi (16. 12. 2009 14:40)

$y^{(5)}+ 2y^{'''}+y^' = 0$
Charakteristický polynom příslušný této rovnici je
$\lambda^{5}+2\lambda^3+\lambda$
Chceme najít jeho kořeny, řešíme tedy rovnici
$\lambda^{5}+2\lambda^3+\lambda=0$
$\lambda(\lambda^{4}+2\lambda^2+1)=0$
$\lambda(\lambda^{2}+1)^2=0$
kořeny jsou: $0,i,-i$ , přičemž íčkové kořeny jsou dvojnásobné
Tomu odpovídá fundamentální systém ( $e^{\lambda x}$ ): $1,\cos{x},\sin{x},x\sin{x},x\cos{x}$
Řešení dané rovnice hledáme proto ve tvaru
$y=A+B\cos{x}+C\sin{x}+Dx\cos{x}+Ex\sin{x}$ .

A teď to stačí pětkrát zderivovat (v rovnici máš pátou derivaci y), dosadit vypočítané derivace(pátou, třetí a první) do původní rovnice a zjistit podmínky pro A, B, C, D, E.