Matematické Fórum

kacka18 · 15. 12. 2009 08:02

Ahoj, můžete mi prosím pomoct?
Nějak se nemůžu dobrat řešení. Udělala jsem si směrový vektor AB a z něj normálový, který prochází bodem C. Nějak mi to nevychází, neznáte někdo prosím jednodušší způsob?

Určete bod C tak, aby trojúhelník ABC byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou AB, kde A=[4,-6] a B=[-2,10].

Pandoslav

co zkusit thaletovu kružnici ? přidáš další podmínku : C náleží průniku normály a kružnice se středem ve středu AB a poloměrem |SA|
Wikipedie

kacka18

↑ Pandoslav:

Pořád se motám mezi dost velkými čísly.
Mám tohle správně?

n: 16x+6y-28=0
S=[1,2]
r=5

$k: (x-1)^2+(y-2)^2=25$

Cheop · 15. 12. 2009 09:29

↑ kacka18:
Poloměr kružnice je $\sqrt{73}$
Rovnice kružnice:
$(x-1)^2+(y-2)^2=73$

kacka18 · 15. 12. 2009 09:31

↑ Cheop:

jop, to už jsem si vypočetla, ale pořád to jsou čísla jak blázen.
Po úpravě soustavy rc mi vyšla kvadratická rovnice: $73x^2-194x-527=0$

Pandoslav · 15. 12. 2009 09:33

trochu pozdě, ale přece ;-)

kontroloval jsem obojí několikrát, ale pořád mě vychází :
$|AB| = 2\sqrt{73}$
vektor AB = (-6;16); S mi vyšlo stejně [1;2], ale normála už jinak :
pravoúhlý vektor se dělá tak, že přehodíš x a y a k jednomu hodíš mínusko, pak můj normálnový vektor vyšel (16;6) a z toho směrnicová rovnice přímky
$y=\frac38x + q$
po dosazení bodu S
$y=\frac38x + \frac{13}{8}$
ty 3/8 je směrnice (tangens úhlu, který přímka svírá s osou x, nebo taky když znáš vektor -> y/x)
vzdálenost |SA| je polovina vzdálenosti |AB|, takže odmocnina z 73, pak rovnice kružnice bude :
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 73$
y máš vyjádřeno ve směrnicové rovnici, dosadíš do rovnice kružnice a dostaneš dva kořeny -7 a 9
to jsou body odpovídající oboum požadavkům -> body C
[-7;-1][9;5]

kacka18

↑ Pandoslav:

Všechno až na ten směrnicový tvar je mi jasné. To jsme ještě nebrali. Jinak mi to ostatní vychází také.
Jen jsem to dělala s obecnou rovnicí místo směrnicových rovnic. Ale vychází to obrovsky jak jsem psala nahoře.

... zatracená Petáková!

kacka18 · 15. 12. 2009 09:40

Mám soustavu rc:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 73$
$16x+6y-28=0$

a vychází to hrůzně: $73x^2-194x-527=0$

Wotton · 15. 12. 2009 09:41

Jen taková poznámka. Proč se trápíte s kružnicí? Když si vezmete střed strany AB označme ho S. Do něj položíte normálový vektor o délce |AS|, tak jeho konec je v bodě C.

kacka18 · 15. 12. 2009 09:47

↑ Wotton:

Dobře, to ale stejně docílím jen rovnice kružnice, kterou mám nahoře a k tomu potřebuji další rovnici a jsme tam, kde se plácám už 2,5 hodiny.

Wotton · 15. 12. 2009 09:53 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 10:10)

A=[4,-6] a B=[-2,10], takže S=[1,2]

vektor(A,S) = (-3,8)
normálový vektor = (8,3)
bod C = [9,5]

duhé řešení:
normálový vektor = (-8,-3)
bod C' = [-7,-1]

Toť vše.

EDIT: Je už takhle jasný, jak to myslím, nebo je to potřeba víc rozepsat?

kacka18 · 15. 12. 2009 10:15

↑ Wotton:

No tohle jsou údaje, které mám už dýl. Ke všemu se dopočtu, ale jak to pak skloubit to nevím.
Pořád mám dvě neznámé a ať to dám dohromady jakkoliv, nedopočtu se.

normálně jsem myslela, že mi stačí obecná rovnice pro přímku SC a k tomu velikost vektoru SA, ale nejde mi to a nevím už proč.

Wotton · 15. 12. 2009 10:27 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 10:34)

Takže zapomeň na přímku i na kružnici (ne že by to tak nešlo dělat, ale je to zbytečne složitý).
Co víš je, že když ze středu úsečky spustíš kolmici o délce polovihy délky ůsečky, tak dostaneš bod C. To je proto, že ten trojúhelník je pravoúhlý a rovnostraný.

Když si najdeš střed úsečky tak dostaneš S=[1,2]
Vektor (AS) = (-3,8) je rovnoběžný s úsečkou AB.
Pokud si uděláš normálový vektor k vektoru AS, tak získáš vektor (8,3) (označím ho například u). Pro něj je důležitý, že má stejnou velikost jako vektor AS a že je na něj kolmý.
Nyní když si umístíš počátek vektoru u do bodu S, tak jeho konec bude v bodu [9,5](=[1+8,2+3]), což je hledaný bod C.

Stejně i pro druhý případ.

EDIT: chyba v součtu

kacka18 · 15. 12. 2009 10:33

↑ Wotton:

jo tak tohle je fakt tak jednoduchý. Vůbec mi nenapadlo, že to půjde takhle. Pořád děláme jen nějaké průsečíky, tak jsem myslela, že to tak půjde také.

Díky moc

zdenek1 · 15. 12. 2009 10:34

↑ kacka18:
Jak píše ↑ Wotton:
vektor AS =(-3,8)
vektor AC =(8,3) a současně, když bod C má souřadnice C(x,y), je vektor AC (x-1,y-2)
takže máš rovnice
x-1=8
y-2=3

x=9, y=5

Na druhou stranu stejně

kacka18 · 15. 12. 2009 11:40

Ahoj,
tak netrvalo dlouho a jsem tu zas. Omlouvám se.

Mám zadání: V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB, A=[-3,4], B=[1,6] leží vrchol C na přímce 5x-6y-16=0. Vypočtěte souřadnice bodu C.

Jdu na to zase asi špatně, páč mi vychází souřadnice C jako desetinný čísla.

Určila jsem si střed AB: S=[-1,5], potom vektor SA=(-2,1) a na něj normálový n=(1,2).
Takže si vyrobím obecnou rovnici: x+2y+c=0 ... dosadím bod S a vychází rovnice: x+2y-9=0

Když ji pak dám do soustavy rovnic se zadanou rovnicí, vychází mi průsečík C špatně. Mám tam zase nějakou botu, kterou nevidím :(

jelena · 15. 12. 2009 11:45

↑ kacka18:

vektor SA=(-2,1) a na něj normálový n=(1,2).

vektor SA (-2, -1) překontroluj znamenka - je rovnou normálový vektor pro budoucí obecný tvar přímky CS. Souhlasíš?

kacka18 · 15. 12. 2009 11:49

↑ jelena:

jj znamének jsem si pak všimla, ale ten vektor mi hned netrkl. Díky za pomoc, už to mám.

Pandoslav · 15. 12. 2009 11:49

↑ kacka18:
vektor SA není (-2;1) ale (-2;-1) - Xa-Xs = -2 a Ya-Ys = -1
normálnový vektor je pak (1;-2). Obecná rovnice se tvoří z vektoru normály na danou přímku, takže obecná rovnice normály nějaké přímky bude z vektoru té dané přímky (u nás je to (-2;-1) nebo (2;1))
dostanu : 2x + y + c = 0
po dosazení : 2x + y - 3 = 0

kacka18

Tak nevím, ale tady s tím mi nejde pohnout.

Vypočítejte souřadnice vrcholů rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, jestliže znáte obecnou rovnici přímky, na které leží těžnice $t_a:4x+3y+5=0$ , těžiště $T=[4,-7], S_a_b=[1,2].$

Vypočetla jsem si bod C, ale nevím kudy na zbylé dva. Pořád mám ve svých kombinacích moc neznámých, takže na to musí být jednoznačně nějaký fígl zase. Jen nevím jaký. Nic tam není kolmé ani rovnoběžné a tam, kde jsou stejné vzdálenosti zase mám málo spočtených údajů.

Wotton · 15. 12. 2009 13:32 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 14:02)

Hezký příklad. Jen tam máš asi špatně znamínko v zadání, protože takhle neleží těžište na těžnici. Jen co to opravíš, tak se do toho pustím.

EDIT:

Jak sama říkáš najít bod C není težké:
$\vec{S_{ab}T}=(3,-9)\nlC=S_{ab}+3.\vec{S_{ab}T}\nlC=[1+3.3,2+3(-9)]\nlC=[10,-25]$
Nyní musíme najít souřadnice bodů A a B. To znamená čísla $x_A$ $y_A$ $x_B$ a $y_B$ .
Víme že A leží na těžnici $t_a$ , takže musí platit vztah: $4x_A+3y_A+5=0$ .
Dále si najdeme střed ůsečky BC $S_{bc}=[\frac{x_B+3}2,\frac{y_B-25}2]$ . Ten musí taky ležet na těžnici $t_a$ z čehož dostaneme vztah $4\frac{x_B+3}2+3\frac{y_B-25}2+5=0$ .
A jako poslední si vyjádříme $S_{ab}$ pomocí bodů A a B: $S_{ab}=[1,2]=[\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2]$ .

No a když si to teď všechno dáme do hromady:
$4x_A+3y_A+5=0\nl 4\frac{x_B+3}2+3\frac{y_B-25}2+5=0\nl 1=\frac{x_A+x_B}2\nl 2=\frac{y_A+y_B}2$

tak dostanem soustavu 4 rovnic o 4 neznámých.

kacka18 · 15. 12. 2009 14:07

$S_{bc}=[\frac{x_B+3}2,\frac{y_B-25}2]$ nevím, proč je tam trojka v čitateli. Nemělo by to být $S_{bc}=[\frac{x_B+10}2,\frac{y_B-25}2]$

kacka18 · 15. 12. 2009 14:20

Tak nevím, ale nějak záhadně se mi to všechno odečetlo. Ze soustavy mi zbylo $0x_B+0y_B=0$

kacka18

Končím, už mám hlavu v pejru! Večír na to juknu, třeba to půjde líp. Díky za pomoc

Wotton · 15. 12. 2009 16:03

↑ kacka18:

Máš pravdu, má tam být desítka a ne trojka. A že ti jedna rovnice zmizí je asi v pořádku. Když jsem pak o tom přemýšlel, tak to vypadá, že to má nekonečně mnoho řešení.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2009 08:02

Vektory

#2 15. 12. 2009 08:21 — Editoval Pandoslav (15. 12. 2009 08:22)

Re: Vektory

#3 15. 12. 2009 08:46 — Editoval kacka18 (15. 12. 2009 08:49)

Re: Vektory

#4 15. 12. 2009 09:29

Re: Vektory

#5 15. 12. 2009 09:31

Re: Vektory

#6 15. 12. 2009 09:33

Re: Vektory

#7 15. 12. 2009 09:38 — Editoval kacka18 (15. 12. 2009 09:39)

Re: Vektory

#8 15. 12. 2009 09:40

Re: Vektory

#9 15. 12. 2009 09:41

Re: Vektory

#10 15. 12. 2009 09:47

Re: Vektory

#11 15. 12. 2009 09:53 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 10:10)

Re: Vektory

#12 15. 12. 2009 10:15

Re: Vektory

#13 15. 12. 2009 10:27 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 10:34)

Re: Vektory

#14 15. 12. 2009 10:33

Re: Vektory

#15 15. 12. 2009 10:34

Re: Vektory

#16 15. 12. 2009 11:40

Re: Vektory

#17 15. 12. 2009 11:45

Re: Vektory

#18 15. 12. 2009 11:49

Re: Vektory

#19 15. 12. 2009 11:49

Re: Vektory

#20 15. 12. 2009 13:22 — Editoval kacka18 (15. 12. 2009 13:34)

Re: Vektory

#21 15. 12. 2009 13:32 — Editoval Wotton (15. 12. 2009 14:02)

Re: Vektory

#22 15. 12. 2009 14:07

Re: Vektory

#23 15. 12. 2009 14:20

Re: Vektory

#24 15. 12. 2009 14:35 — Editoval kacka18 (15. 12. 2009 14:35)

Re: Vektory

#25 15. 12. 2009 16:03

Re: Vektory

Zápatí