Matematické Fórum

SF · 30. 12. 2009 15:16

Dobrý den. Mám jeden problém, se kterým si nevím rady, pouze tuším, jaké by mohlo být řešení.

Mějme pravoúhlý, kartézský souřadný systém s osami x,y; parabolu s vrcholem v bodě [0;R] a kružnici o poloměru R se středem v bodě [0;0]. Zajímalo by mě, jestli je možné, aby parabola, která na intervalu (0;+inf) klesá, měla pouze jeden společný bod s kružnicí, a to [0;R]. Prosím o matematické zdůvodnění.

Děkuji předem za všechny nápady a řešení.

zdenek1 · 30. 12. 2009 15:58

↑ SF:
Parabolu budeme hledat ve tvaru $y=-ax^2+bx+c=0$ .
Protože vrchol paraboly je na ose $y$ , musí být $b=0$ . Když $x=0$ , je $y=R$ , takže $c=R$ .
Parabola je tedy $y=-ax^2+R$
Musíme najít $a$ . Z rovnice vyjádříme $x^2=\frac{R-y}a$ a dosadíme do rovnice kružnice $x^2+y^2=R^2$
Máme $\frac{R-y}a+y^2-R^2=0$ a upravíme $ay^2-y+R^2(1-a)=0$ . Tato rovnice určuje průsečíky paraboly a kružnice. Takový průsečík má být je jeden, to znamená, že diskriminant rovnice je nula.
$D=1-4aR^2(1-a)=0$ Z této rovnice vypočítáme $a$
$a=\frac{R\pm\sqrt{R^2-1}}{2R}$

Takže: Ano je to možné, pokud $R\geq1$ .

TAkto to bude pro $R=1$ ( $a=\frac12$ )