Matematické Fórum

TomasM · 02. 01. 2010 00:04

Dobrý večer, rád bych Vás požádal o radu s úpravou jedné rovnice ve tvaru zlomku, ke které se dostanu u výpočtu příkladu geometrické posloupnosti. Vím jak se ta rovnice má upravit, jedná se o vzorový příklad s popsaným řešením, jen nevím PROČ se to má upravit právě takto.

Takže ta rovnice: $\frac{112}{1+q^3}=\frac{48}{q(1+q)}$ vypadá takto. Nyní se mají odstranit zlomky (společný jmenovatel?) tak abych následnou úpravou výrazu, po odstranění zlomků, dostal kvadratickou rovnici. Zlomky odstraním vynásobením rovnice výrazem $*q(1+q)(1-q+q^2)$ a to je to co nechápu. První část výrazu $*q(1+q)...$ je jmenovatel druhého zlomku v rovnici, ale kde se vzalo to $...(1-q+q^2)$ ? Výsledkem je pak $112q=48(1-q+q^2)$ a z toho už tu kvadratickou rovnici složím. Můžete mi prosím (polopaticky) vyvětlit, proč se ta rovnice upravuje takto? Resp. jak se přišlo na ten výraz, kterým se odstraňují zlomky? Děkuji.

jelena · 02. 01. 2010 00:11

↑ TomasM:

Zdravím,

jmenovatel 1. zlomku byl rozložen na součín dle užitečného vzorce 2.3. Stačí tak?

TomasM · 02. 01. 2010 00:52

Děkuji za ochotu pomoci v tuto pozdní hodinu.
Nicméně si nejsem úplně jist - nějak tam nevidím to (a+b) z uvedeného vzorce. Já bych tedy (podle vzorce 2.3) rozložil samotný výraz $1+q^3$ na $(1+q)(1-q+q^2)$ . Při úpravě té púvodní rovnice - součinem jmenovatelů - bych pak použil výraz $q(1+q)(1+q)(1-q+q^2)$ Kde první část $q(1+q)$ je jmenovatel druhého zlomku a druhá část $(1+q)(1-q+q^2)$ je dle vzorce upravený jmenovatel prvního zlomku. Proto nechápu jak se dostat k výrazu $q(1+q)(1-q+q^2)$ . Kam zmizelo $(1+q)$ ?

jelena · 02. 01. 2010 01:03

↑ TomasM:

Při úpravě zlomku hledáme nejmenší společný násobek jmenovatelů obou zlomku. Tuto vlastnost splňuje výraz $q(1+q)(1-q+q^2)$ , jelikož každý zlomek v tomto výrazu "svůj jmenovatel nájde"

Je trochu nešvarem (z mého pohledu docela velkým :-), že při řešení rovnic typu:

$\frac{x+1}{56}-\frac{x-1}{32}=3$ se levá a pravá strana rovnice násobí 56*32, je spravne nejdriv najit nejmensi spolecný násobek čísel 56 a 32 (které číslo to je?) a takovým číslem vynásobit levou a pravou stranu.

Stejný postup - hledání nejmenšího společného násobku - se uplatní i při řešení rovnic s neznamou v jmenovateli. Je to tak více srozumitelne?

TomasM · 02. 01. 2010 01:13 — Editoval TomasM (02. 01. 2010 01:16)

Děkuji. U výrazů s neznámou to hned "nevidím" :-) Je na to nějaký trik?

...je spravne nejdriv najit nejmensi spolecný násobek čísel 56 a 32 (které číslo to je?) - 224? Přestože se jedná o nešvar, lze pro úpravu použít i $q(1+q)(1+q)(1-q+q^2)$ tento výraz? Dostanu se po úpravách ke stejnému výsledku?

zdenek1

↑ TomasM:
$\frac{112}{1+q^3}=\frac{48}{q(1+q)}\ \Rightarrow\ \frac{112}{(1+q)(1-q+q^2)}=\frac{48}{q(1+q)}$
Nyní zkrátíš co se dá
$\frac{7}{1-q+q^2}=\frac{3}{q}$ (nahoře zkrátíš 16, dole $1+q$ - to můžeš, protože musí být $q\neq-1$
Teď to upravíš a dostaneš kvadratickou rovnici
$3q^2-10q+3=0\ \Rightarrow\ (3q-1)(q-3)=0$

Edit: podle mě je mnohem větší nešvar to, že nejdřív hledáš společný jmenovatel. Nejdřív máš KRÁTIT! Ale tvým způsobem by to taky šlo. Proč to dělat jednoduše, když to jde složitě?

TomasM · 02. 01. 2010 01:34

Děkuji všem za ochotu a pomoc. To mám za to, když v 41 letech doháním svou hloupost z mládí, tedy studium VŠ. Dvacet let jsem používal občas trojčlenku, častěji kalkulačku a víceméně vše ze středoškolské matematiky zapoměl :-(

jelena · 02. 01. 2010 11:15

↑ zdenek1:

Zdravím, Zdeňku,

mohla bych svou odpověď napsat ještě ve standardních nočních hodinách, ale opakovaně jsem spočitala do 10 a nechala jsem si něco k ranní kávě.

Metodicky nemohu souhlasit - pokud přečteš příspěvky kolegy od začátku tématu, je zřejmě, že trochu bojoval s řešením rovnic s neznámou v jmenovateli obecně (že na tento problém narazil až při rozboru geometrické posloupnosti, to nám případně může doplnit). Proto považuji za vhodné upozornit na nešvar nasobení společným násobkem všech jmenovatelů, bez snahy najit "nejmenší společný násobek". Násobení výrazem s neznámou vůbec považuji za nešvar - preferuji převod na anulovaný tvar s následným řádným zápisem celého řešení včetně všech podmínek.

Věřím, že kolega si udělá jasno v celé problematice - dobrý materiál je, například, zde - najit Příručku pro přípravu na přijimací zkoušky (místní typografové budou tolerantní k úpravě textů :-)

V případě konkrétního zadání (geometrická posloupnost) můžeme ukázat i další vymoženosti - kracení největším společným dělitelem, které jsi použil, děkuji, ale není nutné se takto rozčilovat.

Také věřím, že tento můj příspěvek vezmeš s dostatečně optimistickým náhledem, děkuji :-)

Pro TomaseM - ovládání a praktické použití trojčlenky považuji za velmi významnou zkušenost - vítej mezi nás :-)

----
Как быть нам, султанам, ясность тут нужна! Сколько жен в самый раз - три или одна?

TomasM · 02. 01. 2010 12:04

↑ jelena:

Díky za pojmenování "kolega", já jsem však spíše matematické trdlo. Než jsem se na Vás obrátil s prosbou o radu, strávil jsem krušné odpoledne hledáním... přestože jsem měl vzorečky pro úpravy mnohočlenů před sebou, nedocvaklo mi, že $1+q^3$ je vlatně $1^3+q^3$ a tedy $a^3+b^3$ .

Jinak zadání příkladu zní takto: Určete a1 a kvocient q geometrické posloupnosti u které platí: a1+a4=112 a a2+a3=48 - řešil jsem takto:
1. Dle vzorce an=a1*q^n-1 jsem si všechna an převedl na a1. Odtud ta má rovnice v prvním příspěvku :-)
2. Pak jsem (to až po Vaší pomoci) z kvadratické rovnice spočetl q1,2. Vyšlo to q1=3 a q2=1/3
3. Z toho pak dvě a1 - pro první q1=4 a pro druhé q2=108

Rád uvítám, pokud jsem to neřešil nejúčelněji, jiné varianty.

Ještě jednou všem díky.

zdenek1 · 02. 01. 2010 12:16

↑ TomasM:
Postup vypadá velmi rozumně.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2010 00:04

Úprava zlomku v rovnici

#2 02. 01. 2010 00:11

Re: Úprava zlomku v rovnici

#3 02. 01. 2010 00:52

Re: Úprava zlomku v rovnici

#4 02. 01. 2010 01:03

Re: Úprava zlomku v rovnici

#5 02. 01. 2010 01:13 — Editoval TomasM (02. 01. 2010 01:16)

Re: Úprava zlomku v rovnici

#6 02. 01. 2010 01:16 — Editoval zdenek1 (02. 01. 2010 01:18)

Re: Úprava zlomku v rovnici

#7 02. 01. 2010 01:34

Re: Úprava zlomku v rovnici

#8 02. 01. 2010 11:15

Re: Úprava zlomku v rovnici

#9 02. 01. 2010 12:04

Re: Úprava zlomku v rovnici

#10 02. 01. 2010 12:16

Re: Úprava zlomku v rovnici

Zápatí