Matematické Fórum

pajaxxx · 05. 01. 2010 20:44

Ahoj, přítelkyně se učí na zkoušku a nevíme si rady s následujícím příkladem, vlastně vůbec nevíme, jak na to.. A tak Vás prosím o radu :)
Zadání: Rozložte rac. funkci R(x) v součet polynomu s parciálními zlomky:

R(x) = (x^4 - 3*x^3 + 6*x^2 - 12*x)/(x^3 - 3*x^2 + x - 3)

Bohužel nemáme ani výsledek, o to je to těžší...

Děkuji za každou radu ;)

Tychi · 05. 01. 2010 21:10

Nejprve bych polynomy vydělila, vzhledem k tomu, že v čitateli je polynom vyššího stupně než ve jmenovateli. Pak je potřeba rozložit jmenovatele na součin.

pajaxxx · 06. 01. 2010 09:51

↑ Tychi:

S tím vydělením, to mě taky napadlo, ale pak nevím, jak to dál rozložit...

Tychi · 06. 01. 2010 10:13 — Editoval Tychi (06. 01. 2010 10:17)

Po vydělení ti zbyde
$R(x) =\frac{x^4 - 3*x^3 + 6*x^2 - 12*x}{x^3 - 3*x^2 + x - 3}=x+\frac{5x^2-9x}{x^3 - 3*x^2 + x - 3}$
Dál budu pracovat jen s tím zlomkem
$\frac{5x^2-9x}{x^3 - 3*x^2 + x - 3}=\frac{5x^2-9x}{(x-3)(x^2+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-3)}{(x-3)(x^2+1)}$
Čitatele na začátku a na konci se rovnají:
$5x^2-9x=Ax^2+A+Bx^2-3Bx+Cx-3C$
Porovnáním koeficientů dostaneme soustavu:
$x^2$ : 5=A+B
$x$ : -9=-3B+C
$x^0$ : 0=A-3C

Vyřešíš soustavu a pak dosadíš do základu A, B, C a máš hotovo.