Matematické Fórum

pntv19 · 06. 01. 2010 14:25

zadání:

Chtěl jsem si nejdřív zlomek převést do základního tvaru (aby i nebylo ve jmenovateli) a následně spočítat z^8 a z^2

Jenže se zadrhnu hned při tom převodu na základní tvar. Usměrním zlomek jednou pomocí (2-sqrt(3i))/(2-sqrt(3i)), podruhé pomocí (4-3i)/(4-3i)

Ale nahoře vyjde strašné zvěrstvo -31-42i+28sqrt(3i)+21sqrt(3i)

Nevím jak dostat klasické A + B*i, když tam mám celkem tři členy s i a pokaždé s jinou mocninou.

A další dotaz, když potom budu počítat to z^8 a z^2, mám to převádět na goniometrický tvar nebo použít raději binomického rozvoje?

PS: kdyby to nešlo pochopit ty mé mezivýpočty, tak řekněte a pokusím se to přepsat nebo rychle zkouknout ten LaTeX..

Děkuji za jakékoli rady :(

musixx · 06. 01. 2010 14:29 — Editoval musixx (06. 01. 2010 14:34)

↑ pntv19: Zlomek je třeba usměrnit pomocí (2-sqrt(3)i)/(2-sqrt(3)i), a žádné zvěrstvo v čitateli tak nevznikne. EDIT: To 'i' už není pod odmocninou.

Dále je třeba si uvedomit, že v komplexním oboru není totéž $z^2$ a $\sqrt[4]{z^8}$ . EDIT: Ty čtvrté odmocniny jsou čtyři a jen jedna z nich je rovna $z^2$ .

pntv19 · 06. 01. 2010 14:38

děkuji moc! V zadání jsem si odmocninu protáhl a myslel jsem, že i samotné i je pod odmocninou... Mno a teď k druhé otázce, pro z^8 a z^2, mám to převádět na goniometrický tvar nebo použít raději binomického rozvoje? Aby to lépe vypadalo popřípadě lze použít jen jednu z těchto metod?

musixx · 06. 01. 2010 14:46

↑ pntv19: Jde o to, jak vypadá komplexní čislo z. Matematicky je samozřejmě jedno, která z tebou navržených metod se použije. Vyjde to vždy stejně. Není žádný důvod dělat to oběma způsoby. Protože budeš potřebovat umocnit na osmou, tak Moivreova věta by byla rychlejší. Takže jestli je číslo z snadno převoditelné do goniometrického tvaru, šel bych touto cestou. Také samozřejmě na papíře člověk může využít toho, že $z^8=\left(\left(z^2\right)^2\right)^2$ .

pntv19 · 06. 01. 2010 15:50

díky za upozornění... Ovšem stále nechápu, jak to, že jsou tam 4 odmocniny a jen jedna z nich je z^2, ale k věci:
spočítal jsem si teda:

z=(-1) + sqrt(3)*i

převedeno do goniometrického tvaru:

z=2*(cos(120)+i*sin(120))

z^8=256*(cos(240)+i*sin(240)) a také sqrt[4](z^8)=4*(cos(240)+i*sin(240)) <-- Tímto si nejsem jist zda platí, když jsi psal něco o té odmocnině

Mno a jak to převést rozumně zpět na algebraický tvar? Hlava mi to nějak nebere :(

pntv19 · 06. 01. 2010 16:01

ještě mě napadá, že to sqrt[4](z^8) se má rovnat spíš tomuto 256^(1/4)*(cos(240/4)+i*sin(240/4)) = 4*(cos(60)+i*sin(60))

Není tak?

musixx · 06. 01. 2010 16:08 — Editoval musixx (06. 01. 2010 16:13)

↑ pntv19: Převod zpět do algebraického tvaru = vyčíslit cos(240°) atd., tedy $v=z^8=-128-128\sqrt3i$ .

No a teď k $\sqrt[4]v$ . Podle Moivreovy věty to je - tady použiju tebou spočteného $v=256(\cos240^\circ+i\sin240^\circ)$ :
$v_1=4(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)$
$v_2=4(\cos150^\circ+i\sin150^\circ)$
$v_3=4(\cos240^\circ+i\sin240^\circ)$
$v_4=4(\cos330^\circ+i\sin330^\circ)$ .

No a $z^2=-2-2\sqrt3i$ , tedy $v_3$ (dopředu jsme věděli, že některé $v_i$ bude rovno $z^2$ , i když nám tato informace vlastně k ničemu přímo nebyla). Proto nestačí uvážit pouze $z^2$ pro nalezení $\sqrt[4]v$ .

pntv19 · 06. 01. 2010 16:14 — Editoval pntv19 (06. 01. 2010 16:16)

jo vyčíslit! Bingo :)

A k tomu $z^2=$ , ono to má být podle zadání spíš $\sqrt[4]{z^8}$ , takže je správně to co jsi mi napsal o příspěvek nade mnou ( $v_3$ ) nebo to co jsem navrhoval já o něco výše ( $v_1$ )?

BTW: mnohokrát děkuji, lze nějak toto fórum podpořit alespoň jako částečné poděkování?

musixx · 06. 01. 2010 16:38

↑ pntv19: Čtvrté odmocniny jsou čtyři, takže správný a kompletní je můj přístup (bez určování, že $z^2=v_3$ , protože to není požadováno zjistit).

pntv19 · 06. 01. 2010 16:44

jo už to chápu i proč! Děkuji za trpělivost.. jen mi teď vrtá hlavou, zda jsem to dobře spočetl

$5sqrt{3}i+2sqrt{3}i=7sqrt{3}i$ nebo $=14sqrt{3}i$

Ať si to kdyžtak opravím a přepočítám... Jinak to je už vyřešeno :)

musixx · 06. 01. 2010 16:55

↑ pntv19: Pět hrušek a dvě hrušky je sedm hrušek. Roli hrušky na sebe teď vzalo číslo $\sqrt3i$ . :-)

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2010 14:25

komplexní čísla

#2 06. 01. 2010 14:29 — Editoval musixx (06. 01. 2010 14:34)

Re: komplexní čísla

#3 06. 01. 2010 14:38

Re: komplexní čísla

#4 06. 01. 2010 14:46

Re: komplexní čísla

#5 06. 01. 2010 15:50

Re: komplexní čísla

#6 06. 01. 2010 16:01

Re: komplexní čísla

#7 06. 01. 2010 16:08 — Editoval musixx (06. 01. 2010 16:13)

Re: komplexní čísla

#8 06. 01. 2010 16:14 — Editoval pntv19 (06. 01. 2010 16:16)

Re: komplexní čísla

#9 06. 01. 2010 16:38

Re: komplexní čísla

#10 06. 01. 2010 16:44

Re: komplexní čísla

#11 06. 01. 2010 16:55

Re: komplexní čísla

Zápatí