Matematické Fórum

Naibik · 07. 01. 2010 17:58

Ahojky, potrebovala bych poradit s vyresenim teto ulohy...
Ukažte, že diofantická rovnice x+y=(x-y)*(x-y) má nekonečně mnoho řešení.
Dekuju moc...

Marian · 07. 01. 2010 18:39

↑ Naibik:

Možná by tě mohlo nakopnout toto. Pokud ne, ozvi se a jistě někdo přispěje nápadem, neboť je to docela snadné.

FailED · 07. 01. 2010 19:55 — Editoval FailED (07. 01. 2010 20:26)

↑ Naibik:
Já bych zkusil vyjádřit y pomocí x.

Teď stačí ukázat, pro která celá x budou celá y a že jich je nekonečně mnoho.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 08. 01. 2010 18:09

Hledáme dvě čísla x, y taková, že pokud je sečteme dostaneme čtverec (tj. $k^2$ ) a pokud je odečteme, dostaneme odmocninu z tohoto čtverce (tj. $k$ ). Což ovšem znamená, pro libovolné k > 1 přirozené, že $x+y=k^2$ a $x-y=k$ . Obě rovnice sečteme: $2x=k^2+k$ a tedy $x=\frac{k^2+k}{2}$ . Dělení dvěma nás nerozhází, protože číslo a jeho čtverec jsou buď obě lichá nebo obě sudá čísla, tedy jejich součet (rozdíl) je vždy sudý. Obdobně dostaneme $y=\frac{k^2-k}{2}$ .

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2010 17:58

Diofanticka rovnice

#2 07. 01. 2010 18:39

Re: Diofanticka rovnice

#3 07. 01. 2010 19:55 — Editoval FailED (07. 01. 2010 20:26)

Re: Diofanticka rovnice

#4 08. 01. 2010 18:09

Re: Diofanticka rovnice

Zápatí