Matematické Fórum

Dennis.16 · 11. 01. 2010 16:41

Kolik prvních členů aritmetické posloupnosti dá součet 0, je-li a1=20, d=-2 ? Myslím, že výsledek je 121, ale na to jsem přišel logicky. Mohl by mi někdo poradit, jak to dosadit do vzorce? Děkuji moc

mikee · 11. 01. 2010 16:58

↑ Dennis.16:
Sucet prvych n clenov aritmetickej postupnosti sa rovna $\frac{(a_1+a_n).n}{2}$ , kde $a_n = a_1 + (n-1).d$ .
My chceme, aby $\frac{(a_1+a_n).n}{2} = 0$ , teda $\frac{a_1 + a_1 + (n-1).d}{2} \cdot n$ , po dosadeni $\frac{40-2(n-1)}{2} \cdot n = 0$ , odkial $\frac{(42-2n).n}{2} = 0$ , $(21-n).n = 0$ , a kedze n musi byt vacsie ako 0, tak n = 21 :)

Chrpa · 11. 01. 2010 16:58 — Editoval Chrpa (11. 01. 2010 16:58)

↑ Dennis.16:
$a_n=a_1+(n-1)d\nla_n=20-2n+2\nla_n=22-2n$
$S_n=\frac n2\left(a_1+a_n\right)\nl0=\frac n2\left(20+22-2n\right)\nl0=\frac n2\left(42-2n\right)\nl0=n(21-n)\nln^2-21n=0\nln(n-21)=0\nln=21$

Prvních 21 členů posloupnosti dá součet nula

Dennis.16 · 11. 01. 2010 17:06

Děkuji oběma za bleskové odpovědi :-) u a1 mělo být 120 místo 20, ale to je teď zanedbatelné. Hlavně, že už vím, jak dosadit do vzorců. Ještě jednou děkuji mnohokrát :-)

maťulka · 18. 01. 2010 16:55

Pěkně prosím, můžete mi poradit, zítra z toho píšu...a5 je -9, s7 je -21, urči d??? Děkuju

jelena · 18. 01. 2010 18:52

↑ maťulka:

Zdravím,

a) zakladej si prosím nové téma, pokud nejsi si jistá, že navazuješ přímo na problém v původním tématu (nebo alespoň označ téma jako nevyřešeno). Děkuji.

b) když použiješ vzorců z příspěvků, tak máš:

vzorec pro n-tý člen: $a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d$ , dle zadání $a_5=-9$

vzorec pro součet: $S_n=\frac n2\left(a_1+a_n\right)$

$S_7=\frac 72\left(a_1+a_7\right)=\frac 72\left(a_1+a_1 +(7-1)d\right)$ , dle zadání $S_7=-21$

Všechno je vyjádřeno přes $a_1$ , $d$ , máme 2 rovnice a 2 neznamé, řešíme soustavu rovnic. Zvladneš to dořešit?

maťulka · 18. 01. 2010 19:45

↑ jelena: právě že asi nezvládnu to dořešení, pěkně prosím, smutně koukám, děkuji

jelena · 18. 01. 2010 20:45 — Editoval jelena (18. 01. 2010 20:45)

↑ maťulka: no nějak tu písemku zítra napsat musíš, snad.

1.rovnice $-9=a_1+4d$ , z této rovnice vyjádříme $a_1=-9-4d$ a dosadíme do 2. rovníce:

$-21=\frac 72\left(2a_1+6d\right)$

$-21=\frac 72\left(2(-9-4d)+6d\right)$ , levou a pravou stranu vynásobíme 2, otevřeme závorky a dopočteme d. Potom d dosadíme do 1. rovníce a dopočteme $a_1$