Matematické Fórum

pool · 12. 01. 2010 11:05

zdravim, lze spocitat tuto limitu nejak jednodusejc bez pouziti L´Hospitalova pravidla ?

$lim [tan((x pi)/2) log(sqrt(sin((x pi)/2)))]/(x-1)$ x jde k 1

halogan · 12. 01. 2010 11:16

Ahoj Jakube,

koukám, že řešíš včerejší písemku :-)

$\lim_{x \to 1} \frac{\tan $x \frac{\pi}{2}$ \log $\sqrt{\sin \(x \frac{\pi}{2}$}\)}{x -1}$

Kroky:

1. Místo logaritmu tam přes aritmetiku šoupni jen jeho argument - 1. (log y)/(y - 1) pro y jdoucí k jedné.

2. Rozepiš si tangens jako sinus/cosinus.

3. Rozšiř odmocninou tak, aby se ti umocnil ten sinus z prvního kroku. Budeš tam mít nově (sin A - 1).

4. Přes aritmetiku součinu odstraň vše, co nejde k nule (jeden z těch rozšířených sinů by měl zůstat).

5. Rozšiř (sin A + 1), abys dostal (sin^2 - 1), což si přepíšeš jako -cos^2 A.

6. Pokrať kosíny.

7. V čitateli ti zbyde cos A/2 sin A/2 děleno něčím. Rozšiř 2/2, abys dostal v čitateli 2 sinA/2 cosA/2, což je sin2A.

8. Teď jsem použil L'Hospitala, protože mě už nic nenapadalo.

---

Snad jsem nic nevynechal, píšu to tady po paměti ze včerejška. Tomu L'Hospitalovi se asi dá vyhnout, ale nemáme ho zakázaného a je to pak na úplně triviálním zlomku, takže v pohodě.

Měj se.

Olin · 12. 01. 2010 11:38

Já bych volil jako první krok
$\log $\sqrt{\sin \(x \frac{\pi}{2}$\) = \frac 12 \log $\sin \(x \frac{\pi}{2}$\)$

Další kroky jsou analogické. Nakonec dojdu k něčemu jako
$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(\pi y + \pi)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{-\sin(\pi y)}{y}$ .

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2010 11:05

Limita funkce - bez L´Hospitala ?

#2 12. 01. 2010 11:16

Re: Limita funkce - bez L´Hospitala ?

#3 12. 01. 2010 11:38

Re: Limita funkce - bez L´Hospitala ?

Zápatí