Matematické Fórum

matoni555 · 21. 01. 2010 09:19

Zdravím,
s tímto příkladem si nevím rady.

$(Z[x], +, \cdot)$ je obor integrity polynomů nad Z
Mám ukázat, že $I = \left\{f(x) \in Z[x] | f(0) = 0\right\}$ je ideál a že $(Z[x]/I, +, \cdot)$ je izomorfní s $(Z, +, \cdot)$ .

Díky za každou radu

Kondr · 21. 01. 2010 11:32

Stačí si uvědomit, jak vypadají polynomy splňující $f(0)=0$ (tj. s čím je tato podmínka ekvivalentní z hlediska koeficientů). Pak se snadno nahlédne, že od každého polynomu v Z[x] lze odečíst vhodný polynom z ideálu tak, aby zbyla konstanta, tj. v každé třídě rozkladu je právě jeden konstantní polynom. Tyto konstantní polynomy dávají systém reprezentantů, na kterém je vidět kýžený izomorfizmus.

matoni555 · 21. 01. 2010 12:33

Polynomy co splňují $f(0) = 0$ by měly mít koeficient $a_0 = 0$ a všechny ostatní koeficienty $a_n \in Z$ . Je to tak?
Jak ale ověřím, že to je ideál?

Kondr · 21. 01. 2010 15:26

↑ matoni555:Takové polynomy lze psát jako $x\cdot p(x)$ , na druhou stranu každý polynom $x\cdot p(x)$ má v nule hodnotu 0. Jde tedy o hlavní ideál generovaný polynomem x.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2010 09:19

Ideál v oboru integrity polynomů nad Z

#2 21. 01. 2010 11:32

Re: Ideál v oboru integrity polynomů nad Z

#3 21. 01. 2010 12:33

Re: Ideál v oboru integrity polynomů nad Z

#4 21. 01. 2010 15:26

Re: Ideál v oboru integrity polynomů nad Z

Zápatí