Matematické Fórum

lvq · 22. 01. 2010 13:08

Zdravim,
pri reseni prikladu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=14197 newtonovou metodou (metodou tecen) jsem narazil na problem.
Chtel jsem overit podminky konvergence a proto jsem funkci $1-e^{x^2}*2x$ zderivoval jednou a dosadil krajni body intervalu [0;1], znamenko vyslo stejne. Pokracoval jsem tim, ze jsem fci zderivoval podruhe, ovsem po dosazeni nuly me dvakrat zderivovana fce vysla 0.
Ve skriptech nemuzu najit, zda je pri vysledku 0 podminka konvergence splnena nebo jak se zachovat. Nevedel byste prosim nekdo co s tim?
Predem dekuji za odpoved.

jelena · 22. 01. 2010 19:50

↑ lvq:

Zdravím,

samotné derivování jsem nekontrolovala (předpokládám, že je v pořádku) - pokud v 0 vychází 2. derivace 0, tak x=0 nezvolíme za startovací bod. Je potřeba ověřit f(1)*f´´(1) - pokud bude větší, než nula, pak za startovací bod bude zvoleno $x_0=1$ . Vychází tak? Děkuji.

Teorie.

lvq · 23. 01. 2010 11:04

↑ jelena:
diky, vyslo me tedy, ze tento priklad nelze resit newtonovou metodou

kaja(z_hajovny) · 23. 01. 2010 22:31

To je jenom postacujici podminka. Pro newtonovu metodu neni potreba mit druhou derivaci. pokud si vzpominam dobre Newtonova metoda konverguje, pokud derivace neni nula a pokud zacneme dostatecne blizko korene. Ale kvantitativni vyjadreni techto podminek nemam po ruce, takze slouzit nemuzu.

Ale zkusim li treba pro Sage tento kod"
f(x)=1-2*x*exp(x^2)
derf(x)=diff(f(x),x)
a=0
for i in range(10):
a=n(a-f(a)/derf(a),digits=50)
print (a,f(a))

tak to konverguje celkem rychle

Code:

      

(0.50000000000000000000000000000000000000000000000000,
-0.284025416687742)
(0.42626692769046828941505675565944021576559076347538,
-0.0224085181052067)
(0.41941449463289095621186476073966851575947706519181,
-0.000160110975685050)
(0.41936482658466836475301362981740850061127235625029,
-8.26946186201647e-9)
(0.41936482401913243771796805230747111062847255365885,
-2.20610262701399e-17)
(0.41936482401913243087370699521741289014786211470730,
-1.57008310361672e-34)
(0.41936482401913243087370699521741284143726039159512,
6.68191177523049e-52)
(0.41936482401913243087370699521741284143726039159512,
0.000000000000000)
(0.41936482401913243087370699521741284143726039159512,
0.000000000000000)
(0.41936482401913243087370699521741284143726039159512,
0.000000000000000)

jelena · 23. 01. 2010 23:53

↑ kaja(z_hajovny):

Zdravím Vás, u krajinářů dlouho nebyla zavedena nová numerická metoda?

Já jsem to zkoušela "téměř ručně":

start od 1
1    0,727979907
0,727979907 0,517454102
0,517454102 0,429595818
0,429595818 0,419474095
0,419474095 0,419364836
0,419364836 0,419364824

start od 0
0    0,5
0,5    0,426266928
0,426266928 0,419414495
0,419414495 0,419364827
0,419364827 0,419364824

Ale musela bych se také podívat na nějaké (starší) knihy - já jsem zvykla na kontrolu součínem ↑ jelena: (dokonce jsem viděla, že startovací krok se odvijel od konvexnosti, konkávnosti - tedy něco společného s 2. derivaci to mít bude)

A agitační otázka: víte o svém právu kontrolovat témata a označovat za "vyřešena"? Děkuji a mějte se hezky :-)

kaja(z_hajovny)

↑ jelena:
Taky zdravim v tuto nocni hodinu. Poklona pred takovou pameti.

Nejake podminky na druhou derivaci jsem taky videl, ale zda se mi ze jsou vzdy jenom postacujici, nikoliv nutne. Ale nepamatuju si to presne.
Takze vychazi, kdy to lze a nevyjde, kdy to nelze pouzit (jak tvrdi puvodni tazatelka ve svem druhem prispevku)

Krajinarum (ale tech uz je malo, spis to jsou ted nabytkari a s nima krajinarska mensina) se pokusim pristi rok vnutit zase dalsi numerickou metodu: Halleyovu metodu :)

jelena · 24. 01. 2010 00:59

↑ kaja(z_hajovny):

Rektorys je se mnou ve shodě (ale já jsem se podle něho neučila - zřejmě také čerpal ze starých ruských knih (c)) - zkusím to podle něho zítra/dnes překontrolovat.

Nabytkářům bych doporučovala až 6. metodu - název se pěkně asociuje s utíráním práchu na nábytku).

A úplně OT: ↑ moje agitační otazka?: - а он не хотел, очень...

kaja(z_hajovny)

↑ jelena: S tou druhou deriavci mate pravdu - musi byt spojita

A to oznacovani otazek: o tom vim, jenom jsem si rikal, ze by to mel oznacit puvodni tazatel. Chodim sem ted velice malo, tak nevim, jake jsou s temito novotami zvyky :)

Tak uz jsem se koukal do Rektoryse, rika se tam kdy se metoda da pouzit (postacujici podminky). Vyvodit z nesplneni techto podminek, ze se pouzit neda (viz treti prispevek) mi neprijde spravne (a navic ja i Jelena jsme ukazali, ze Newtonova metoda tu konverguje).

jelena · 04. 02. 2010 00:41 — Editoval jelena (04. 02. 2010 00:42)

↑ kaja(z_hajovny):

Zdravím Vás,

viděla jsem, že čtení Rektoryse již proběhlo, děkuji :-)

Tak jen nahlásím, že jsem překontrolovala podmínky (ručně - mám pěknou propísku) - jedina "nesplněna" je nulová hodnota 2. derivace "0" (i když je to sporné - v podmínce je uvedeno, že nesmí měnit znaménko - což také nemění). Asi bych to pro klid vyřešila tak, že levý okraj intervalu posunu z x=0 do x=0,1, kde je splněno všechno.

A to oznacovani otazek: o tom vim, jenom jsem si rikal, ze by to mel oznacit puvodni tazatel. Chodim sem ted velice malo, tak nevim, jake jsou s temito novotami zvyky :)

Původní tazatel by toho měl... pokud budete mít trochu času a nálady, tak to můžete vyzkoušet (pokud je opravdu zodpovězeno nebo jen něco kratce doplnit), děkuji.

A tuto otazku bych považovala za odpovězenou.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2010 13:08

newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#2 22. 01. 2010 19:50

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#3 23. 01. 2010 11:04

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#4 23. 01. 2010 22:31

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

Code:

#5 23. 01. 2010 23:53

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#6 24. 01. 2010 00:17 — Editoval kaja(z_hajovny) (24. 01. 2010 00:18)

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#7 24. 01. 2010 00:59

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#8 24. 01. 2010 09:30 — Editoval kaja(z_hajovny) (25. 01. 2010 08:03)

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

#9 04. 02. 2010 00:41 — Editoval jelena (04. 02. 2010 00:42)

Re: newtonova metoda reseni nelinearni rovnice - podminky konvergence

Zápatí