Matematické Fórum

lvq · 23. 01. 2010 15:57

Zdravim,
resim jeden priklad tykajici se pravdepodobnosti a celkem jsem se zasekl. Mohli byste mi prosim poradit, jak na nej? Predem moc dekuju.

Nahodna velicina X ma distribucni funkci:

Urcete konstanty a, b.
Spravne vysledky: [a=1, b=-1]

Prisel jsem jen na toto:
Protoze funkce by mela byt spojita, melo by v nule platit:
$a+b*e^{0}=0$ , z toho vyplyva, ze $a=-b$
Dale jsem si distribucni funkci prevedl na hustotu: $f(x)=-b*e^{-x} pro x>0; 0 pro x <= 0$
Tady si nejsu moc jistej, ale hustota by nemela nabyvat zapornych hodnot, proto by melo platit v nule napr: $-b*e^0>=0$ , zo toho vyplyva, ze $b<=0$
Dal jsem se nedostal, ale myslim, ze by se mohlo vyuzit toho, ze u distribucni funkce $\lim_{x\rightarrow \infty}F(x)=1$ , ale nevim jak...

Kondr · 23. 01. 2010 16:11

Přesně tak: $\lim_{x\rightarrow \infty}F(x)=1$
$\lim_{x\rightarrow \infty}a+be^{-x}=1$
Protože $e^{-x}$ jde k nule, máme $\lim_{x\rightarrow \infty}a+be^{-x}=a=1$ .

Jinak co se týče spojitosti, u obecné distribuční funkce se často vyžaduje pouze jednostranná spojitost. Jde pak o to, jak jste si distribuční funkci definovali.

lvq · 23. 01. 2010 16:23

↑ Kondr:diky,
nevim, jestli dobre chapu to oduvodneni, je to tak, ze kdyz $e^{-x}$ je v nekonecnu 0, tak k nemu musim pricist 1, aby bylo $e^{-x}$ v nekonecnu 1? A toho becka si nemusim vsimat, mam delat, jako kdyby tam nebylo?
btw. s tou spojitosti mas pravdu, mame ji definovanou jako zleva spojitou.

Kondr · 23. 01. 2010 16:32 — Editoval Kondr (23. 01. 2010 16:33)

lvq napsal(a):
↑ Kondr: toho becka si nemusim vsimat, mam delat, jako kdyby tam nebylo?

b-čko je konečné číslo, konečné číslo krát nula je opět nula. Zkus nastudovat aritmetiku limit, snad pomůže.

Pokud máte v definici spojitost zleva, tak si myslím, že hodnotu a nelze jednoznačně určit (v nule může být nespojitost). To by se dalo spravit tak, že bychom v definici vyžadovali spojitost zprava nebo tak, že do zadání přidáme předpoklad, že veličina X je spojitá. Pokud jsem tě tímto zmátl, tak to prosím ignoruj.

lvq · 23. 01. 2010 16:45

↑ Kondr:uz to asi chapu, jeste jednou diky
jeste k tomu druhymu odstavcu, v zadani je, ze F(x)=0 pro x <= 0, tak by tam snad nespojitost nemela nastat, ale nejspis mluvis o necem uplne jinym :-D.

Kondr · 23. 01. 2010 17:28

Jak jsem psal, jsou dva způsoby, jak definovat F:
$F(x)=P(X<x)$ -- pak musí být F zleva spojitá
$F(x)=P(X\leq x)$ -- pak musí být F zprava spojitá

Vy (nejspíš) používáte tu první definici. Uvažme funkci s a=1, b=0. Ta by měla distribuční funkci rovnu 0 pro nekladná a 1 pro kladná čísla. Tomu odpovídá náhodná veličina, která vždy nabývá hodnotu 0.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2010 15:57

dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

#2 23. 01. 2010 16:11

Re: dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

#3 23. 01. 2010 16:23

Re: dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

#4 23. 01. 2010 16:32 — Editoval Kondr (23. 01. 2010 16:33)

Re: dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

lvq napsal(a):

#5 23. 01. 2010 16:45

Re: dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

#6 23. 01. 2010 17:28

Re: dopocitani konstant, aby funkce byla distribucni

Zápatí