Matematické Fórum

Norbiboom

Dobry vecer,
chcel by som vas poprosit o radu s touto limitou: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2}$ pricom $n,m \in \mathbb{N}$
postupoval som: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(e)^{nmx} - (e)^{nmx}}{x^2}$ ale vobec mi to nepomohlo. Nemozem pouzit l'Hospitalovo pravidlo. Dakujem za pomoc.

Pavel Brožek · 29. 01. 2010 00:18

Použij binomickou větu. Z každé závorky tak dostaneme tři první členy plus x^3 krát něco, co nás nezajímá. Nebo se to má řešit pro n,m reálná čísla?

Norbiboom

↑ BrozekP:
Dakujem, pokusim sa to vyriesit. Zabudol som dodat: $n,m \in \mathbb{N}$

Norbiboom

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{1+{n \choose 1}mx + ... + {n \choose k}m^{k}x^{k} + ... + {n \choose n }m^{n}x^{n} - (1 + {m \choose 1}nx + ... + {m \choose k}n^{k}m^{k} + ... + {m \choose m}n^{m}x^{m})}{x^2} =$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}({n \choose 2}m^{2}+...+m^{n}x^{n-2} - ({m \choose 2}n^2 + ... + n^{m}x^{m-2}))}{x^2} =$
$\frac{1}{2}n(n-1)m^2 - \frac{1}{2}m(m-1)n^2 =$
$\frac{1}{2}(n-m)n^2m^2$
K tomuto som sa dopracoval, ak by tam bola chyba, prosim vas, opravte ma.