Matematické Fórum

Norbiboom · 31. 01. 2010 20:38

Dobry vecer,
mam potiaze s jednou limitou a chcel by som vas poprosit o radu, pricom l'Hospitalovo pravidlo nie je povolene.
$\lim_{x\rightarrow1}(1-x)tan(\frac{\pi x}{2})$
Wolfram ukazuje na vysledok $\frac{2}{\pi}$ Odkaz

Postupoval som nasledovne:
1, substitucia $y=1-x$
2, nasledne uprava tangensu $tan(a-b) = \frac{tan(a) - tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}$

Nasledne som sa snazil upravami odtranit $y$ ale vzdy mi vychadza limita $\frac{0}{0}$
Budem vam vdacny za vase rady.

kaja(z_hajovny) · 31. 01. 2010 20:50

no pro zacatek treba
$\lim_{x\rightarrow1}(1-x)\tan(\frac{\pi x}{2})=\lim_{x\rightarrow1}(1-x)\frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{\cos(\frac{\pi x}{2})}= \lim_{x\rightarrow1}\frac{1-x}{\cos(\frac{\pi x}{2})}$

potom $\cos(\frac \pi2 x)=\sin(\frac{\pi}2-\frac{\pi x}2)$ , nejuake to vytknuti a vpasovani clene, jaky tam potrebuji, aby se dala pouzit pozoruhodna limita sin(y)/y pro y jdouci k nule

halogan · 31. 01. 2010 20:53

Pokud si tangens rozepíšeš na sinus/kosínus a sinus přes aritmetiku vyhodíš (bude to jednička), tak se ti to zjednoduší na (1-x)/cos(pi/2 x). Stejný výraz jsem to mel na zkousce a pouzil jsem L'Hospitala. Pokud není povolený, tak zaubstituuj a vyjde to správně. Použiješ vzorec cos(a + b).

Norbiboom

Moj postup:
$\lim_{x\rightarrow1}(1-x)\tan(\frac{\pi x}{2}) = \lim_{x\rightarrow1}(1-x)\frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{{\cos(\frac{\pi x}{2})}} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{(1-x)}{\cos(\frac{\pi x}{2})}$
Subst: $y=1-x$
$\lim_{y\rightarrow0}\frac{y}{\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi y}{2})} = \lim_{y\rightarrow0}\frac{y}{\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi y}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi y}{2}}$
Sucin kosinusov je $0$ a $\sin\frac{\pi}{2} = 1$
$\lim_{y\rightarrow0}\frac{y}{\sin\frac{\pi y}{2}} = \lim_{y\rightarrow0}\frac{\frac{\pi y}{2}}{\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi y}{2}} = \frac{2}{\pi}$

↑ kaja(z_hajovny):, ↑ halogan:: velmi pekne dakujem za rady.

EDIT - ↑ kaja(z_hajovny):: dakujem :-) , uz je to opravene.

kaja(z_hajovny) · 31. 01. 2010 21:50

mensi chaos ve slozenych zavorkach .....
$\lim_{x\rightarrow1}(1-x)\tan(\frac{\pi x}{2}) = \lim_{x\rightarrow1}(1-x)\frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{{\cos(\frac{\pi x}{2})}}{ = \lim_{x\rightarrow1}\frac{(1-x)}{\cos(\frac{\pi x}{2})}$

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2010 20:38

Limita - Mat. Analyza 1

#2 31. 01. 2010 20:50

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#3 31. 01. 2010 20:53

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#4 31. 01. 2010 21:45 — Editoval Norbiboom (31. 01. 2010 21:53)

Re: Limita - Mat. Analyza 1

#5 31. 01. 2010 21:50

Re: Limita - Mat. Analyza 1

Zápatí