Matematické Fórum

lotr.jrr · 02. 02. 2010 13:01

Ahoj.
Potřeboval bych poradit s dvěma limitami, které jsem měl ve zkouškovém testu...

Zadání 1)
Vyšetřete limity (obou i jednostrannou) funkce f v bodě x nula...

Zadání 2)
Najděte limitu posloupnosti:

Dík moc za pomoc a omlouvám se za chabou kvalitu obrázků, ale lepší scanner než iPhone v těto době nemám :-D.

Petr

BTW: Kdyby byl někdo ochotný si nad to se mnou na chvíli sednout třeba přez ICQ (233978142), aby mi to vysvětlil, tak bych byl moc rád dost v tom plavu ;-)...

Wotton · 02. 02. 2010 13:31

Zdravím, ta dvojka by mohla být takhle:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n^2+1}\right)^{2n^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x-1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^2}{1+\frac{1}{x}}$
Přičemž v prvním kroku jsem použil substituci $x=n^2+1$

Teď už jen dopočítání jednotlivých složek
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^2}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\left(\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^2}{\lim_{x\rightarrow\infty}1+\frac{1}{x}}=\frac{e^2}{1}=e^2$

Wotton · 02. 02. 2010 13:54 — Editoval Wotton (02. 02. 2010 13:57)

pokud smíš použít l'Hospitala tak 1 takhle:
$\lim_{x\rightarrow 1^-}\ \frac{e^{x-1}-1}{\ln^2x}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\ \frac{e^{x-1}}{\frac{2\ln x}{x}}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\ \frac{xe^{x-1}}{2\ln x}=-\infty\nl \lim_{x\rightarrow 1^+}\ \frac{e^{x-1}-1}{\ln^2x}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\ \frac{e^{x-1}}{\frac{2\ln x}{x}}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\ \frac{xe^{x-1}}{2\ln x}=\infty$

EDIT: přidání mezer pro větší přehlednost

Rumburak

Ad 1:
Zavedeme substutuci $h = x-1 \to 0$ a počítáme:

$\lim_{x \to 1} \frac {\exp (x-1) \,-\, 1}{\ln^2 x} = \lim_{h \to 0} \,\frac {\exp (h)\, -\, 1}{\ln^2 (1+h)} = \lim_{h \to 0} \,\frac {\exp (h)\, -\, \exp (0)}{h}\,\cdot \, \frac{h}{\ln (1+h) \,-\, \ln \,1} \,\cdot \,\frac {1}{\ln (1+h)}$ .
Limita zlomku $\frac {\exp (h) \,-\, \exp (0)} {h}$ je 1 , neboť jde o derivaci funkce exp v bodě 0,

limita zlomku $\frac {h}{\ln (1+h)\, -\, \ln\, 1}$ je rovněž 1, neboť jde o převrácenou hodnotu derivace funkce $\ln$ v bodě 1,

limita zlomku $\frac {1}{\ln (1+h)}$ však neexistuje, protože limita jmenovatele je 0, příčemž pro h < 0 jsou jeho hodnoty záporné
a pro h > 0 kladné.

Odpovídající limita součinu těchto tří zlomků proto neexistuje.

Ad 2.
Položíme $f(n) := n^2 + 1$ , zřejmě jde o posloupnost rostoucí k plus nekonečnu.

Hledaná limita je tvaru
$\lim_{n \to \infty}$1+\frac{1}{f(n)}$^{2f(n) - 1} = \lim_{n \to \infty}$1+\frac{1}{f(n)}$^{2f(n)}\cdot $1+\frac{1}{f(n)}$^{-1}$ .
Limita prvého činitele je zřejmě $\text e^{2}$ , limita druhého je 1.

EDIT : Kolega byl rychlejší, ale je mi líto svůj příspěvek mazat, neb sepsat ho mi po technické stránce dalo docela dosti práce. :-)