Matematické Fórum

kralovnicka · 02. 02. 2010 15:00

muzete mi pomoct nekdo s timto vypoctem polomeru konvergence?

dekuji..

x^(n+1)
suma -1^n . -----------
n=0 (2n+1)!

Rumburak

V mnoha případech - i v tomto - se osvědčí postup využívající d'Alembertova kriteria.

Spočítá se limita L(x) podílu $\frac {|a_{n+1}(x)|}{|a_{n}(x)|}$ pro n ---> oo , která obecně závisí na parametru x ,
a podle hodnot této limity a pomocí zmíněného kriteria pak máme

1) případy L(x) < 1, kdy řada $\sum |a_{n}(x)|$ určitě konverguje ( a pak konverguje též řada $\sum a_{n}(x)$ ) ,
2) případy L(x) > 1, kdy řada $\sum |a_{n}(x)|$ určitě diverguje (a pak diverguje též řada $\sum a_{n}(x)$ ) ,

Poloměr konvergence určuje hranici mezi oběma těmito případy a vypočítáme ho zpravidla jako nezáporné řešení rovnice L(x) = 1,
pokud je L(x) vlastní a není identicky rovna nule.

Je-li L(x) identicky (nezávisle na x) rovno nule, je poloměr konvergence roven +oo,

Je-li L(x) identicky (nezávisle na x) rovno +oo, je poloměr konvergence roven 0.

V uvdené úloze by Ti mělo vyjít, že řady $\sum |a_{n}(x)|$ , $\sum a_{n}(x)$ konvergují pro libovolné x , tedy poloměr konvergence je
podle definice +oo .

EDIT: Trochu jsem se do toho výkladu zamotal, ale tato verse snad už je definitivní.

kralovnicka · 02. 02. 2010 15:49

a podle tohoto vzorce by to neslo?

an
r=lim ---------
an + 1

Kondr · 02. 02. 2010 15:55

↑ kralovnicka: Rozdíl je pouze v tom, že Rumburak uvádí $a_n$ v absolutních hodnotách, takže jrho vzorec funguje i pro řady, v nichž jsou některé koeficienty záporné. Tobě by vyšl poloměr záporný, což je nesmysl.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2010 15:00

poloměr konvergence

#2 02. 02. 2010 15:42 — Editoval Rumburak (02. 02. 2010 16:16)

Re: poloměr konvergence

#3 02. 02. 2010 15:49

Re: poloměr konvergence

#4 02. 02. 2010 15:55

Re: poloměr konvergence

Zápatí