Matematické Fórum

check_drummer · 03. 02. 2010 19:09

Mějme v ZF axiomatické teorii množin nějakou množinu "a" (o ní víme, že je to množina). Platí potom, že každá její podmnožina je také množinou (dle ZF axiomatické teorie)? Je to jednoduché, pokud ji můžeme popsat nějakým predikátem a použít axiom vydělení, ale jde to vždy? A jaká je na tuto otázku (podmnožina je vždy množinou) odpověď, pokud za množinu "a" vezmeme množinu všech přirozených čísel?

Další související otázka zní: Jak obecně dokázat, že nějaká "entita" je množinou - znamená to dokázat formálně větu "existuje a taková, že a má danou vlastnost"? Co když tuto vlastnost není možné pospat žádným predikátem (ale lze ji popsat jinými prostředky - např. "množina čísel, která když jistý turingův stroj dostane na vstup, tak se nezastaví" - i když i u té si nejsem jistý, zda není nějakým predikátem popsatelná)? - Existuje taková "nepopsatelná" vlastnost vůbec?

Díky za odpovědi, eventuelně za upřesňující dotazy. :-)

Rumburak

Na první otázku:

Ano . Dokazuje se věta: je-li třída T částí množiny m, potom třída T je množinou.
Zda množinou m je množina přirozených čísel, není podstatné. ZF obsahuje teorii př. č. tak, že třída př.č. je v ZF množinou .

K otázce druhé:
Zavádět konkretní množiny jinak než pomocí predikátů sestavených ve formálním jazyce je nepřípustné.
Jiný způsob by nemusel být korektní a bylo by těžké to zkoumat. Viz četné "paradoxy" (ve skutečnosti rozpory) v intuitivní teorii množin.
Axiomatické TM založené na přísných formalismech - jako např. ZF - byly vybudovány právě proto, aby se takovýmto sporům zamezilo.

Ke studiu ZF doporučuji knihu Bohuslav Balcar , Petr Štěpánek: Teorie množin (nakl. Academia), v níž jsou na příkladech rozebrány i důvody,
proč TM nutno budovat po formální stránce přísněji než jiné matematické teorie.

viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fr … no%C5%BEin

check_drummer · 06. 02. 2010 18:59

↑ Rumburak:

Potom si ovšem myslím, že existuje nějaká podmnožina přirozených čísel, kterou nelze popsat formulí (formule popisuje právě tuto množinu a žádné jiné) teorie množin (formálním popisem pomocí predikátů, kvantifikátorů, tedy jazykem teorie množin).Takových formulí je totitž spočetně, každá popisuje jednu množinu (dokonce více formulí může popisovat stejnou množinu), kdežto podmnožin přirozených čísel je nespočetně.
Je tato úvaha správná? Je nám potom k něčemu, že "entita" je množinou, když ji stejně nepopíšeme? :-)

Wotton · 06. 02. 2010 19:20

↑ check_drummer:

Dokonce platí ještě mnohem silnější tvrzení. Existuje podmnožina množiny přirozených čísel, která nelze posat rekurzivní množinou formulí. (Plyne to z Godelovy věty o úplnosti)

Rumburak

↑ check_drummer:
Na první otázku odpověděl kolega Wotton, pokusím se odpovědět na tu druhou.

Podobdnou otázku bychom si mohli položit i u aritmetiky :
"je k něčemu, že umíme vypočítat 568411325221569323235789 * 741254523645103541330 ?"

I když množiny, které nelze popsat pomocí formulí jazyka TM, existují, v úlohách z TM se s nimi nesetkáváme.
Taková konkretní úloha totiž nutně začíná nějakou formulí v jazyce TM.

Úloha "najdi množinu, kterou nelze popsat žádnou formulí v jazyce TM" je formulována v metajazyce, není to tedy úloha z TM.

PS. Těmito otázkami jsem se nijak podrobně nezabýval, takže snad mne někdo ještě doplní nebo opraví.

Wotton · 08. 02. 2010 10:12

↑ check_drummer:↑ Rumburak:

Ještě mě napadlo doplnění k čemu je množina kterou nemůžeme popsat.
Toto doplnění silně souvisí s Axiomem výběru. Vše co pomocí něj dokážem je nekonstruktivní a tudíž nepopsatelné, takže třeba k tomu:-)

A ono když ho odmítnem, tak si moc nepomůžem, protože důkazy pomocí negace axiomu výběru jsou také nekonstruktivní, ...

vanok · 24. 09. 2012 18:41

↑ check_drummer:

Ahoj, vraciam sa k tej to teme.
Nasiel si odpovede na otazky co si mal na tuto temu?
Akoze tu boli dane odpovede, ale pouzivajuce pojmy co tu neboli dostatocne vysvetlene.

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2010 19:09

Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#2 04. 02. 2010 09:31 — Editoval Rumburak (04. 02. 2010 09:56)

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#3 06. 02. 2010 18:59

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#4 06. 02. 2010 19:20

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#5 08. 02. 2010 09:39 — Editoval Rumburak (08. 02. 2010 09:55)

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#6 08. 02. 2010 10:12

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

#7 24. 09. 2012 18:41

Re: Je v axiomatické teorii množin každá podmožina množinou?

Zápatí