Matematické Fórum

skjacobpool · 06. 02. 2010 00:15

Zdravim, mam takuto limitu funkcie http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +as+x+to+0

tak sa ju teda snazim pekne krasne vyriesit, zda sa, ze nerobi problem a vyjde mi nadherne -1/8, avsak ako vidite, vysledok ma byt -5/8 a ja uz naozaj neviem, kde mam tu jednu polovicu najst, ked si svoj postup kontrolujem podla wolframu, tak hned potom, ako sa snazim vyhodit si z tej limity logaritmus pomocou http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … as+x+to+0, tak od tej chvile sa mi zmeni vysledok : http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +as+x+to+0

a tym padom si neviem rady, neviem totiz, co je na pouziti tohto tabulkovehpo vzorca tymto sposobom v danej situacii neadekvatne, ako hovorim, ked sa odstarni ten logarimtus, limita vyjde krasne, zrejme ale robim niekde velku hrubku, ktoru vsak nevidim.

jelena · 06. 02. 2010 00:37

↑ skjacobpool:

Zdravím,

mně vychází -5/8, ale v jednom z pokusu jsem ztratila 2 v jmenovateli (která vznikla po 1. derivace - používala jsem l´Hospital), pak jsem ji našla. Tak třeba také podobný problém - nebo to řešiš bez l´Hospital?

Pavel Brožek · 06. 02. 2010 00:51

↑ skjacobpool:

A jakým způsobem tu tabulkovou limitu používáš? Je nutné se řídit aritmetikou limit.

Limita

$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$

je vlastně koeficient u lineárního členu Taylorova rozvoje funkce $\ln(1+x)$ . Pro vypočítání té limity je ale potřeba znát i koeficient u kvadratického členu.

↑ jelena:

Zdravím.

jelena · 06. 02. 2010 01:40

↑ BrozekP:

Také pozdrav :-) návrh kolegy na vyřazení časti s ln se mi zdá "příliš odvažný", počkám na doplnění, jak to myslel.

skjacobpool · 06. 02. 2010 09:17

dakujem, je pravda, ze tu tabulkovu limitu som pouzil priamo, hned ako prvy krok a ostal mi druhy uvedeny vyraz, ktory vsak ma uz limitu -1/8, takze bude chyba v pouziti tej limity, zrejme to podla aritmetiky nejak nejde, avsak neviem prist na to, co konkretne je na mojom postupe nekorektne :-( a L´ Hospitalovi som sa snazil vyhnut z dovodu, ze mi to prislo upravitelne aj bez Francuza :-)

jelena · 06. 02. 2010 09:23

↑ skjacobpool:

je možné, že kolegovi ↑ BrozekP: je jasné, jak jsi použil tabulkovou limitu - ale já žádný přechod mezi zadanou funkci a takovými "kousky", co pak nabiziš, nevidím. Nechceš to rozepsat více podrobně - děkuji.

skjacobpool · 06. 02. 2010 09:27

ahoj, jj rozpisem, len som momentalne na mobile, takze potom na vecer to napisem na pc

Pavel Brožek · 06. 02. 2010 11:04

↑ jelena:

Moje představa o chybném použití limity byla asi takováto:

$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\frac{x}{2}\sqrt{x+4}}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\ln(1+x)}{x}x-\frac{x}{2}\sqrt{x+4}}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1\cdot x-\frac{x}{2}\sqrt{x+4}}{x^2}=\ldots$

To je ale špatně - nemůžeme udělat limitu pouze určité části výrazu. Musíme opravdu používat aritmetiku limit.

jelena · 06. 02. 2010 11:10

↑ BrozekP: děkuji, přesně takového závěru jsem se dobrala z odkazu kolegy, proto to označení "příliš odvažné". Ale ještě jsem nezkoumala možnost bez l´Hospital (neb se věnuji místnímu úklidu (no nic moc výsledky) pozdrav :-).

skjacobpool · 06. 02. 2010 12:34

↑ BrozekP: ano, dakujem presne tak som sa to snazil robit, neuvedomil som si, ze je to proti aritmetike. Ako teda na to ? je aj ina moznost ako s l´hospitalom ? nie, ze by to nebolo pekne, ale ci nahodou sa nedaju nejakym sikovnym sposobom pouzit tabulkove limity, alebo teda, da sa ten logaritmus odstranit nejakym podobnym sposobom, ako som sa snazil, avsak korektnym ? dakujem pekne za pripadne pripomienky a rady.

Pavel Brožek · 06. 02. 2010 12:52

Já bych na to určitě šel rozvojem do Taylorovy řady (což je vlastně skoro to samé jako l'Hospital). Pokud se tomu ale budeme chtít vyhnout, můžeme si to trochu "ulehčit" (ale je to spíš zbytečné zdržování):

$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\frac{x}{2}\sqrt{x+4}}{x^2}=\lim_{x\to0}$\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}+\frac{x-\frac{x}{2}\sqrt{x+4}}{x^2}$=\nl= \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{2-\sqrt{x+4}}{2x}$

Druhou limitu spočítáme snadno

$\lim_{x\to0}\frac{2-\sqrt{x+4}}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{(2-\sqrt{x+4})(2+\sqrt{x+4})}{2x(2+\sqrt{x+4})}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{2x(2+\sqrt{x+4})}=\nl =\lim_{x\to0}\frac{-1}{2(2+\sqrt{x+4})}=-\frac18$

Na první limitu nám tabulková limita $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ nestačí. Limitu vyřešíme buď l'Hospitalem nebo Taylorovým rozvojem, nic lepšího mě nenapadá

$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac12x^2+o(x^2)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac12x^2+o(x^2)}{x^2}=-\frac12$

halogan · 06. 02. 2010 12:59

Toto je první semestr IES FSV UK (v analýze podobné informatice MFF UK) a Taylor je až ve třetím semestru. L'Hospital je probrán. To jen pozn. k možnostem.

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2010 00:15

Limita funkcie

#2 06. 02. 2010 00:37

Re: Limita funkcie

#3 06. 02. 2010 00:51

Re: Limita funkcie

#4 06. 02. 2010 01:40

Re: Limita funkcie

#5 06. 02. 2010 09:17

Re: Limita funkcie

#6 06. 02. 2010 09:23

Re: Limita funkcie

#7 06. 02. 2010 09:27

Re: Limita funkcie

#8 06. 02. 2010 11:04

Re: Limita funkcie

#9 06. 02. 2010 11:10

Re: Limita funkcie

#10 06. 02. 2010 12:34

Re: Limita funkcie

#11 06. 02. 2010 12:52

Re: Limita funkcie

#12 06. 02. 2010 12:59

Re: Limita funkcie

Zápatí