Matematické Fórum

Martin1711

Ahoj,
pomohl by mi, prosím, nějaký šikovný matematik, nebo někdo, kdo dokáže spočítat tohle?

První je integrál, který by měl jít spočítat nějakou vhodnou transformací, ale to bohužel nevím jakou, takže se nedostanu k samotnému integrování, které by jinak mohlo být docela v pohodě. Tu diferenciální rovnici jsem po vynásobení celé rovnice výrazem y*y převedl pomocí substituce z=y*y*y na Bernoulliho rovnici. Bohužel ale nevím, kde se stala chyba, ale skončil jsem takto:

ln z = -ln x +c , kde jsem dal c=ln K, čímž jsem dostal ln z = ln K -ln x = ln (K/x) , čili z = K/x
po dosazení za z=y*y*y jsem dostal výraz y*y*y = K/x , odkud jsem vyjádřil samotné y a potom jsem y zderivoval podle x a y i derivaci y jsem dosadil do zadání původního zadání dif. rovnice. No, a pak jsem se do toho jaksi zamotal a úplně jsem se v tom ztratil.

Prosím, pomůže mi někdo? Potřeboval bych k tomu i postup. Dík moc

Olin · 08. 02. 2010 00:10

Obé a nejen to umí vyřešit MAW nebo samozřejmě WolframAlpha, ale ten u ODR neukazuje postup.

Martin1711 · 08. 02. 2010 02:10

↑ Olin: Díky za odkaz na skvělé stránky. Až bude čas, určitě je prozkoumám víc. Já bych u těch příkladů právě ptřeboval postup...

stenly · 08. 02. 2010 05:27

↑ Martin1711:Postup po vyjádření z=K/x máš dobře.Teď ale po řešení homogenní dif.rov,což jsi udělal z výrazu z'*x +z=1/x,že jsi pravou stranu položil roven nule a řešil jsi tzv.zkrácenou (homogenní rov.):z'*x+z=0 a vyšlo ti separací proměnných onen vztah,jak uvádíš,že z=K/x je správně.Teď ale ,protože vlastně původní rovnici z'*x+z=1/x řešíš variací konsant,musíš danou konstantu K považovat za proměnnou x,čili K=f(x) a vztah z=K/x derivuješ dle derivace podílu a dostaneš z ' =(K'*x-K)/x^2 a toto dosadíš do vztahu s pravou stranou:z'*x +z= 1/x za z'.Po úpravě dostaneš K' =1/x a K' si vyjádříš jako dK/dx=1/x a separací dostáváš K=ln(x) +C=ln(C*x).Dosadíš do výše položeného vztahu,že z=K/x a máš z=ln(C*x)/x. Teď víš z úvodu,že z=y^3 a máš tedy závěr,že y^3=ln(C*x)/x a necháš to tak v tzv.implicitním vztahu,nebo explicitně:y={ln(C*x)/x}^1/3 .Stačí tak polopaticky?Doufám,že je ti to již srozumitelnější?
Stenly

stenly · 08. 02. 2010 05:35

↑ Martin1711:U integrálu vol substituci 1+e^2x=t^2 ,pak po derivaci máš dx=2t/2e^2x dt a rovněž ze sub.máš e^2x=t^2-1 .Dozadíš do zadání a poúpravě dostaneš Int.1/(t^2-1) dt,což je již hračka!
Stenly

Martin1711 · 08. 02. 2010 05:55

↑ stenly: Díky moc za oboje, i když jsem si s tím integrálem v průběhu noci už poradil. Předtím jsem totiž používal nepříliš vhodné substituce. Ale za tu rovnici fakt dík. Postup "variace konstant" znám, ale asi je tam lepší nechat "jen" z=K/x. Já jsem tam cpal pořád to dosazení za substituci, a pak jsem nejspíš někde udělal hloupou numerickou chybu při derivaci, které jsem si jakožto její "autor" pak nemohl všimnout, proto mi to pak nesedělo. Bohužel jsem ale hledal chybu na špatném místě-ve způsobu výpočtu

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2010 23:24 — Editoval Martin1711 (08. 02. 2010 02:10)

Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

#2 08. 02. 2010 00:10

Re: Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

#3 08. 02. 2010 02:10

Re: Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

#4 08. 02. 2010 05:27

Re: Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

#5 08. 02. 2010 05:35

Re: Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

#6 08. 02. 2010 05:55

Re: Jeden neurčitý integrál a jedna diferenciální rovnice

Zápatí