Matematické Fórum

vasek125 · 08. 02. 2010 15:51

Potřeboval bych vypočítat limitu:
$lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{2x+5}{2x+2})^{x+3}$

Tuším, že to musím nějak upravit na tvar pro $\lim_{x \to +\infty} $1 + \frac{1}{x}$^x = e$ , ale nevím jak. Jak mám postupovat?

FailED · 08. 02. 2010 16:00 — Editoval FailED (08. 02. 2010 16:05)

↑ vasek125:

Na to existuje víc postupů, mně přijde nejjednodušší jít přes limitu, jak píšeš ty. Upravit vnitřek závorky na 1+1/y a exponent potom rozšířit y/y.

$\lim_{x\rightarrow\infty}$\frac{2x+5}{2x+2}$^{x+3}=\lim_{x\to\infty}\[${1+\frac{1}{\frac{2x+2}{3}}$^{\frac{2x+2}{3}}\]^{\frac{x+3}{\frac{2x+2}{3}}}$

Hranatá závorka jde k e, exponent už dopočítáš klasicky.

Rumburak · 08. 02. 2010 16:01

Začal bych úpravou $\frac{2x+5}{2x+2} = \frac{2x+2 + 3}{2x+2}= 1 + \frac{3}{2x+2}$ .

Wotton · 08. 02. 2010 16:16 — Editoval Wotton (08. 02. 2010 16:18)

Já bych to řešil takhle...

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+5}{2x+2}\right)^{x+3}\ =\ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{2x+2}\right)^{x+3}\ =\ \lim_{x\rightarrow\infty}\left\[\left(1+\frac{1}{\frac23 x+1}\right)^{x+1}\cdot\left(1+\frac{3}{2x+2}\right)^2\right\]\ =\nl \lim_{x\rightarrow\infty}\left\[\left(1+\frac{1}{\frac23(x+1)}\right)^{\frac 23(x+1)}\right\]^{\frac 32}\cdot\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{2x+2}\right)^2\ =\ \lim_{y\rightarrow\infty}\left\[\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right\]^{\frac 32}\cdot\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{2x+2}\right)^2$

EDIT: doplnění chybějích závorek

vasek125 · 08. 02. 2010 16:33

supr. díky moc

vasek125 · 08. 02. 2010 17:18

Jak vlastně určuju, zda má či nemá výraz limitu? Myslel jsem, že limita zleva se musí rovnat limitě zprava. Jenže třeba u $\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[3]{x}ln^2(x^2)$ má limitu 0 a přitom limita zleva se nerovná limitě zprava.

jelena · 08. 02. 2010 20:15

↑ vasek125:

Zdravím,

pro oboustrannou limitu musí být splněno, že limita zleva a zprava jsou stejné (jinak lze najit pouze jednostrannou limitu, pokud je). Ještě se zeptam - v tomto zadání mi vychází stejně zleva a zprava (převedla jsem na zlomek (oo/oo) a používala jsem l´Hospital) - ale jen tak v rychlosti - je možné, že dělám chybu - snad někdo z kolegů zkontroluje, děkuji.

vasek125 · 09. 02. 2010 00:01

No já nevím. Podle mě ten logaritmus vyjde z obou stran kladný a ta odmocnina vyjde pro zleva k nule záporná, zprava k nule kladná, proto mi to přišlo divný.

jelena · 09. 02. 2010 00:21

↑ vasek125:

to ano (ohledně logaritmu a odmocniny), ale je to neurčitý výraz 0*oo. Převedla jsem na zlomek "oo/oo" + l´Hospital (po 4 derivacích mi vyšlo "něco/nekonečno" (zleva je /-oo, zprava je /+oo), ale ve výsledku je to 0. Může být?

Marian · 09. 02. 2010 08:09 — Editoval Marian (09. 02. 2010 08:12)

↑ vasek125:↑ jelena:

l'Hospitalovo pravidlo nemusí být použito tak často. Na úlohu se lze snadno podívat tak, že vzhledem k lichosti funkce $f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot\left (\ln (x^2)\right )^2$ , $D_f=\mathbb{R}\setminus\{ 0\}$ , stačí spočítat limitu zprava. Limita zleva (existuje-li limita zprava) se od limity zprava bude nejvýše lišit svým znaménkem. Navíc z těchto úvah a vlastností logaritmů plyne

(Na 4. řádku výpočtu je použito l|Hospitalovo pracidlo.)

Odtud plyne, že i limita zleva $L_{-}:=\lim_{x\to 0^-}f(x)$ se rovná nule, neboť má být podle předchozího $L_{+}=-L_{-}$ .

Wotton · 09. 02. 2010 09:46

↑ vasek125:

Zajímavý na týhle limitě je, že wolframalpha vrací úplný nesmysly. Teda výsledek má správně, ale co ten graf? Při bližším zkoumání jsem zjistil, že absolutně nezvládá třetí odmocninu na záporných číslech.

jelena · 09. 02. 2010 10:17

↑ Marian:

Děkuji :-) dovědu si představit komentár k mému zápisu "něco/nekonečno".

↑ Wotton:

Zdravím, je třeba zkoumat místní odborná pojednání.

Pozdrav :-)

Wotton · 09. 02. 2010 10:33

↑ jelena:

Děkuji, stydím se za neznalost, ...

vasek125 · 09. 02. 2010 15:30

Když už jsme u toho lHospitala, tak jakým způsobem vypočtu u týhle fce limitu, kde x->0? Zkoušel jsem lHospitala, ale pokaždé mi vyšel neurčitý výraz.

$f(x)={x}^3(\ln (x^2) )$

Wotton · 09. 02. 2010 15:46 — Editoval Wotton (09. 02. 2010 16:36)

Mě to už po první derivaci vychází takhle:
$\lim_{x\rightarrow 0}=x^3(\ln (x^2))=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^2)}{x^{-3}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{-3x^{-4}x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2}{3}x^3$

EDIT: Děkuji ↑ Tychi:, opraveno

Tychi · 09. 02. 2010 16:10

↑ Wotton:Máš tam několik rovnítek navíc.

vasek125 · 09. 02. 2010 16:45

Pravda, dík. Já jsem to při počítání špatně opsal(a to asi 10x za sebou...)

Matematické Fórum

#1 08. 02. 2010 15:51

Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#2 08. 02. 2010 16:00 — Editoval FailED (08. 02. 2010 16:05)

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#3 08. 02. 2010 16:01

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#4 08. 02. 2010 16:16 — Editoval Wotton (08. 02. 2010 16:18)

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#5 08. 02. 2010 16:33

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#6 08. 02. 2010 17:18

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#7 08. 02. 2010 20:15

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#8 09. 02. 2010 00:01

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#9 09. 02. 2010 00:21

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#10 09. 02. 2010 08:09 — Editoval Marian (09. 02. 2010 08:12)

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#11 09. 02. 2010 09:46

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#12 09. 02. 2010 10:17

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#13 09. 02. 2010 10:33

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#14 09. 02. 2010 15:30

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#15 09. 02. 2010 15:46 — Editoval Wotton (09. 02. 2010 16:36)

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#16 09. 02. 2010 16:10

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

#17 09. 02. 2010 16:45

Re: Výpočet limity vedoucí na eulerovo číslo

Zápatí