Matematické Fórum

Papek · 30. 01. 2008 10:27

Chcel by som sa opytat, ci niekdo nevie ako sa pocita kovergencia tohoto radu..

a aky bude rozdiel, ked tam bude n^3 alebo sqrt(n^3)

dakujem...

Marian · 30. 01. 2008 11:10 — Editoval Marian (30. 01. 2008 14:50)

Existuje nekolik postupu, jak zjistit u teto rady jeji konvergencni charakter.

Nejjednodussi je pravdepodobne uziti Cauchyova kondenzacniho kriteria, ktere nam dava hned divergenci rady. Takze zkonstruuje se nova rada $\textstyle\sum_{n=0}^{\infty}2^na_{2^n}$ k rade puvodni $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , pricemz v nasem pripade polozime $a_n:=\arcsin\frac{6}{n+6}$ , kde $n\in\mathbb{N}$ (tedy indexuji od n=1, nikoliv od n=7). Plati

$\sum_{n=7}^{\infty}\arcsin\frac{6}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\arcsin\frac{6}{n+6}$ .

Nyni konstrukce nove rady (se stejnym konvergencnim charakterem jako puvodni):

$\sum_{n=0}^{\infty}2^n\cdot\arcsin\frac{6}{2^n+6}$ .

V teto fazi se overi nutna podminka konvergence nekonecne rady, tedy ze sumand se v limite pro n-->oo rovna nule:

$\lim_{n\to\infty}2^n\arcsin\frac{6}{2^n+6}=\lim_{n\to\infty}2^n\frac{\arcsin\frac{6}{2^n+6}}{\frac{6}{2^n+6}}\cdot\frac{6}{2^n+6}=6\neq 0.$

Protoze Cauchyovo kriterium zarucuje, ze obe dve rady zaroven konverguji nebo diverguji, bude tva puvodni rada divergovat.

Ale postupu, jak vyresit tuto ulohu je hned nekolik. Napadaji me jeste tak dva dalsi (mozna i tri). Nektere jsou tezsi a nvic ani nevim, jaky typ skoly studujes, takze netusim, ktera tvrzeni jsou ti znama a ktera nikoliv.

kekekso · 30. 01. 2008 12:18

chcel by som sa spýta? - tento postup sa dá použi? na ľubovoľný rad kde bude arcsin(poprípade arccos) ?? a hlavne či ten nový rad $http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}\textstyle\sum_{n=0}^{\infty}2^na_{2^n}$ má vždy tento tvar alebo to závisi aj od povodneho radu (ak ano tak ako ?)

Marian · 30. 01. 2008 14:44 — Editoval Marian (30. 01. 2008 14:48)

Nektere informace lze obdrzet treba zde. Dulezite je, aby posloupnost {a_n} byla klesajici (ovsem jiste k nule). To je v nasem pripade splneno.

Nekdy lze take pouzit ale toto tvrzeni, ktere je snad jeste snadnejsi aplikovat, ackoliv se musi vedet jak.

**********
Mas-li dve nekonecne rady $\textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ a $\textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ a predpokladas-li, ze limita

$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left |\frac{a_n}{b_n}\right |$

existuje a plati-li $0<r<\infty$ , pak obe rady soucasne konverguji nebo soucasne diverguji.
***********

V nasem pripade, bychom si treba vzali $b_n=\frac{6}{n}$ , protoze vime, ze plati

$r=\lim_{n\to\infty}\left |\frac{a_n}{b_n}\right |=\lim_{n\to\infty}\left |\frac{\arcsin\frac{6}{n}}{\frac{6}{n}}\right |=1,$

Tedy jiste je konvergencni charakter rady puvodni, totiz $\textstyle\sum\limits_{n=7}^{\infty}\arcsin\frac{6}{n}$ , tentyz jako u rady $\textstyle\sum\limits_{n=7}^{\infty}\frac{6}{n}=6\sum\limits_{n=7}^{\infty}\frac{1}{n}$ . Jedna se totiz o harmonickou radu a je mozne ukazat o teto rade, ze je divergentni (treba integralnim nebo jinym vhodnym kriteriem).

Dale u rady $\textstyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}\arcsin\frac{6}{n^3}$ si vem pomocnou radu $\textstyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{6}{n^3}$ , ktera jasne konverguje. Tedy i rada $\textstyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{6}{n^3}$ konverguje. Podobne dale ...