Matematické Fórum

Lenulka91 · 15. 02. 2010 20:41

Hezký večer, lámu si hlavu nad tím jak tohle jednoduše vyřešit:
1. $(x^2+3x+1)(x^2+3x-3)>=5$ , po úpravách dojdu k rovnici http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^ … 2-6x-8%3D0 , kterou musím rozložit, podle typové reciproké to nejde a po podělení (x+1) dostávám x=-1 a $x^3+5 x^2+2 x-8=0$ jak dále rozložit kořeny(nulové b.)? nebo úplně jinak? zdá se mi to moc složité řešení, obdobně:
2. $(x^2+2x-3)(x^2-4x+4)>0$
jak myslíte že by to mohlo jít?

marnes · 15. 02. 2010 20:51

↑ Lenulka91:
1. Zkusil bych dále rozložit na součin a pak použít např tabulku nulových bodů
2. Buď opět mechanicky rozložit (x+3)(x-1)(x-2)(x-2) a opět použít tabulku nulových bodů, nebo vzít v úvahu, že druhá závorka je vždy kladná, kromě x=2, vyřešit kvadr nerovnici jen pro první závorku a tu dvojku z řešení vyloučit

Lenulka91 · 15. 02. 2010 21:11

č2. hotová, vcelku ok, ovšem ta 1. mi pořád nějak nedá .... takže ji vyřeším pouze za předpokladu že se prokoušu tou rovnicí s vyšším řádem? tj. musím "tipnout" že ji mám podělit (x-1) po tom prvním dělení členem (x+1)?

zdenek1 · 15. 02. 2010 22:05

↑ Lenulka91:
1. substituce $x^2+3x-1=t$
$(t+2)(t-2)\geq5$
$t^2-4-5\geq0$
$t^2-9\geq0$
$(t-3)(t+3)\geq0$ návrat k původní proměnné
$(x^2+3x-1-3)(x^2+3x-1+3)\geq0$
$(x+4)(x-1)(x+2)(x+1)\geq0$
$x\in(-\infty;-4]\cup[-2;-1]\cup[1;\infty)$

Olin · 15. 02. 2010 22:17

↑ Lenulka91:
Samozřejmě, je možné, že příslušný polynom bude mít fakt "škaredé" kořeny a budou se nacházet jen obtížně (i když i to je až do 4. stupně vždy proveditelné). U polynomů s celočíselnými kořeny však často (tj. u "běžných" zadání) nalezneme některé kořeny díky větě o celočíselných kořenech (musí být děliteli absolutního členu) či alespoň racionální kořeny. Díky tomu se okruh kořenů, které "tipujeme", dostatečně zúží.

Třeba u toho polynomu $x^3+5x^2+2x-8$ je hned patrné, že je jednička kořenem, stačí sečíst všechny koeficienty a dostaneme nulu.

Lenulka91 · 17. 02. 2010 22:10

děkuju za elegantní substituci zdenkovi1, me napadlo jen x^2+3x, vyřešeno :)

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2010 20:41

kvadratická nerovnice

#2 15. 02. 2010 20:51

Re: kvadratická nerovnice

#3 15. 02. 2010 21:11

Re: kvadratická nerovnice

#4 15. 02. 2010 22:05

Re: kvadratická nerovnice

#5 15. 02. 2010 22:17

Re: kvadratická nerovnice

#6 17. 02. 2010 22:10

Re: kvadratická nerovnice

Zápatí