Matematické Fórum

Pe7er · 22. 02. 2010 17:06

Ahoj vedel by niekto vypočítať takýto integrál ?

Pavel Brožek · 22. 02. 2010 17:19

Tohle najdeš na internetu pod "integrace racionálních funkcí".

Třeba wikipedie:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Integrace_ … unkc%C3%AD

Pe7er · 22. 02. 2010 17:49

teraz sa z toho vysomáriť :D

Pe7er · 24. 02. 2010 09:25

neporadí niekto ? naozaj to neviem

kaja(z_hajovny) · 24. 02. 2010 09:40

je to ten integral $I_2$

udelejte substituci x-1=t, povede to na $\int%20%20{{t+2}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t$ a potom pouzijte ten rekurentni vzorec

Rumburak · 24. 02. 2010 09:55

Začal bych úpravou $x^2 \,-\, 2x\,+\, 34\,=\,(x-1)^2 \,+\,33$ . Jmenovatal v integrandu se pak zjednoduší substitucí $y = x-1$ .
Pokračuje se pak podle metodiky, na kterou odkázal kolega ↑ BrozekP:.
Já vím, že tyto výpočty nebývají příjemné, ale nedá se dělat nic jiného, než se do toho s odvahou pustit :-).
Případné další dotazy budu schopen zodpovědět po obědě, neujme-li se jich mezitím někdo jiný.

Pe7er · 24. 02. 2010 10:30

najväčší problém je tá tretia mocnina

Rumburak

↑ Pe7er:
Rozložíme na součet jednodušších integrálů:
$\int%20%20{{t+2}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t = F + G$ , kde $F = \int%20%20{{t}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t$ , $G = \int%20%20{{2}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t$ .

Ten integrál F je relativně snadný. Použijeme substituci $t^2+33 = u$ , takže $\mathrm{d}u = 2t \mathrm{d}t$ a
$F = \int%20%20{{t}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int%20%20{{1}\over{u^3}}\,\mathrm{d}u$ atd.

Integrál G upravíme:
$G = \int%20%20{{2}\over{\left(t^2+33\right)^3}}\,\mathrm{d}t=\int%20%20{{2}\over{33^3\left($\frac{t}{sqrt{33}}$^2+1\right)^3}}\,\mathrm{d}t= \frac{2\sqrt{33}}{33^3}\int%20%20{{1}\over{\left($\frac{t}{sqrt{33}}$^2+1\right)^3}}\,\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{33}}$ a substitucí $\frac{t}{sqrt{33}} = s$ dostaneme
$G =\frac{2\sqrt{33}}{33^3}\int%20%20{{1}\over{\left(s^2+1\right)^3}}\,\mathrm{d}s$ .
S integrálem $H =\int%20%20{{1}\over{\left(s^2+1\right)^3}}\,\mathrm{d}s$ pak naložíme podle příslušného rekurentního vzorce (v tom odkazu je to integrál $K_n$ pro N=a = 1, n = 3).