Matematické Fórum

Pavel · 24. 02. 2010 13:20

Dokažte, že funkce

$f(x)=(1-x)^{\frac 1x}$

je klesající pro všechna $x\in(0,1)$ .

Martin1711 · 24. 02. 2010 14:57

↑ Pavel:
Zderivuješ podle x a položíš tuto první derivaci rovnu nule. Dál potom pátráš, pro jaká x je derivace kladná a pro jaká záorná. Na intervalech, kde ti vyjde x menší než nula je funkce klesající, na intervalech, kde je x větší než nula, bude funkce rostoucí

Pavel · 24. 02. 2010 15:23

↑ Martin1711:

To je jasné. V tomto případě však nastává problém. Poněvadž první derivace není zrovna nejpěknější.

$f'(x)=(1-x)^{\frac 1x}\,\left(\frac {-(1-x)\ln(1-x)-x}{x^2(1-x)}\right)$

jelena · 24. 02. 2010 16:17

↑ Pavel:

Zdravím,

derivaci jsem nekontrolovala (to bych si ani nedovolila :-), ale řekla bych, že je třeba prokázat pouze "zápornost" čitatele (na stanoveném def. oboru) v výrazu pro derivace (což se dá po úpravách, pokud jsem něco nepřehledla).

Ale:
- asi se neočekává vyšetření průběhu funkce "standardní cestou"?
- proč toto téma není v Zajimavých úlohách, když úvodní příspěvek má "↑ takovou formulaci:"?

Děkuji.

Stýv · 24. 02. 2010 16:26

↑ Pavel: myslim, že pomůže ten logaritmus rozvést do řady

Pavel Brožek

Stačí tedy ověřit

$\ln(1-x)\geq -\frac{x}{1-x}$

V nule zřejmě platí rovnost. Snadno ověříme, že pro $x\in(0,1)$ platí

$$\ln(1-x)$'\geq $-\frac{x}{1-x}$'$ ,

platí tedy i

$\ln(1-x)=\int_0^x$\ln(1-t)$'\rm{d}t\geq\int_0^x$-\frac{t}{1-t}$'\rm{d}t=-\frac{x}{1-x}$ .

Marian · 24. 02. 2010 21:17

↑ BrozekP:

Úlohu jsem řešil takto.

(1) Platí pro $x\in (0,1)$ z definice funkce f(x)

$f\left (\frac{1}{x}\right )=\left (1-\frac{1}{x}\right )^x=:g(x),\qquad x>1.$

Stačí tedy vyšetřit monotonii funkce $g(x)$ pro všechna $x>1$ . Ukážeme, že tato funkce je rostoucí (odkud snadno plyne, že funkce f(x) je na (0,1) klesající).

(2) Předpokládejme, že je $1<x<y$ . Potom existuje $K>1$ takové, že $y=Kx$ . Potom nerovnost g(y)>g(x) je ekvivalentní s nerovností g(Kx)>g(x). Tato se ale za předpokladu x>1 snadno upraví na tvar
$\left (1-\frac{1}{Kx}\right )^K>1-\frac{1}{x}.$
Ta je jistě pravdivá, neboť $K>1$ - plyne to z Bernoulliovy nerovnosti.

Pavel · 25. 02. 2010 13:46

↑ jelena: - Přišla mi ta úloha "slabá" na to, abych ji zařadil do zajímavých úloh. Je to asi jen věc pohledu.

↑ Stýv: - Správná poznámka, viz níže

↑ BrozekP: - Nejsem si jistý, zda nerovnost $$\ln(1-x)$'\geq $\frac{x}{1-x}$'$ platí pro $x\in(0,1)$

↑ Marian: - výborně

Narazil jsem na tento příklad v Integrálním počtu II od Vojtěcha Jarníka, který toto řešil netradičně:

Má-li se dokázat to, že $f(x)=(1-x)^{\frac 1x}$ je klesající pro $x\in(0,1)$ , pak stačí dokázat totéž pro funkci $\ln f(x)$ , protože $\ln\,x$ resp. $e^x$ je rostoucí funkce na svém def. oboru. Jarník vzal a rozvinul $\ln f(x)$ v nekonečnou řadu, z níž je monotonnost vidět okamžitě:

$\frac {\ln(1-x)}x=-\left(\,1+\,\frac x2\,+\,\frac{x^2}3\,+\,\frac{x^3}4\,+\,\frac{x^4}5\,+\,\dots\,\right),\qquad x\in(0,1)$

jelena · 25. 02. 2010 17:54

↑ Pavel: moje poznámka byla v tradičním duchu - chyběla mi totiž dostatečná kreativita úvodního příspěvku v tématu (ovšem v Zajímavých úlohách si můžete vyhlašovat bojovné výzvy v neomezeném rozsahu).
K vyřešení nerovnice dokazující "Zápornost" čitatele jsem použila nakreslení grafů funkcí nerovnice vzniklé ze závorky v čitateli, za což budu určitě náležitě pokárana. Také pravda, pokud bych nereagovala na zápis pro derivaci, tak by možna inverzní funkce napadla (ale další rozklad určitě ne).

Trochu agitace - pokud budete mít čas a náladu, můžete se vyjádřit k tématům v sekci VŠ:

a) debata http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=13493 a oficiální řešení: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=14565 Děkuji kolegovi Olinovi za vyjádření k řešení.

b) zda se, že kolegovi návrh řešení nevyhovuje tak úplně: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=14980

c) řešení pomoci prostředků SŠ: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=14901

Děkuji a zdravím.

------
"A v tom se právě lišíme..."

Pavel Brožek · 25. 02. 2010 20:46

↑ Pavel:

Máš pravdu, bylo to špatně, vypadla mi znaménka (asi při opisování z papíru). Opravil jsem to.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2010 13:20

Klesající funkce

#2 24. 02. 2010 14:57

Re: Klesající funkce

#3 24. 02. 2010 15:23

Re: Klesající funkce

#4 24. 02. 2010 16:17

Re: Klesající funkce

#5 24. 02. 2010 16:26

Re: Klesající funkce

#6 24. 02. 2010 17:58 — Editoval BrozekP (25. 02. 2010 20:46)

Re: Klesající funkce

#7 24. 02. 2010 21:17

Re: Klesající funkce

#8 25. 02. 2010 13:46

Re: Klesající funkce

#9 25. 02. 2010 17:54

Re: Klesající funkce

#10 25. 02. 2010 20:46

Re: Klesající funkce

Zápatí