Matematické Fórum

leník 5 · 28. 02. 2010 09:16

Prosím vás o pomoc: Určete rovnici kružnice, která prochází bodem $R[2;1]$ a dotýká se osy $x$ v bodě $[1;0]$

Budu dosazovat do obecné rovnice $x^2+y^2-2mx-2ny+p=0$ Nevím, jak dál, jestli takto: $R[2;1]$ $2^2+1^2-2m.2-2n.1+p$ to stejné i s druhým bodem, ale nevím co s $p$ . Asi to tak vůbec není, buďte tak hodní, prosím.

Doxxik · 28. 02. 2010 09:57

zdravím,

máš zadané dva body, které náleží kružnici. Jenomže dvěma body je zadáno nekonečně mnoho kružnic . proto to musíme nějak "ošmelit" :)
(zaměřil bych se na osu x -> když se jí dotýká, bude to tečna..
-> já osobně raději vycházím z rovnice $(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2$
->evidentně jsou zde tři neznámé - m, n, r
-> postupným dosazením za x,y souřadnic bodů, kterými kružnice prochází, získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
-> potřebujeme třetí rovnici -> využijeme toho, že je rovnice osy x (tedy $y=0$ ) -> dosadíš to do rovnice tečny (+za $x_0$ i $y_0$ ) -> získáš třetí rovnici..

snad :)

Olin · 28. 02. 2010 10:47

Občas pomáhá si situaci nakreslit. Z náčrtu je zřejmé, že x-ová souřadnice středu bude 1 a y-ová souřadnice se bude rovnat poloměru.

leník 5

↑ Doxxik: Usmíval jste se právem, ty 2 rovnice bych svedla, ale tu 3. ne. Pomůžete mně s tím ještě?
↑ Olin: Když jsem si to nakreslila, mohla by ta rovnice vypadat takto? $(x-1)^2+(y-1)^2-1=0$

Děkuji vám za pomoc.

jelena · 28. 02. 2010 21:59

↑ leník 5:

Zdravím,

z informací od kolegů a ze zadání sestavíme rovnice kružnice, x(středu)=m=1, n nevíme, r nevíme. Budeme dosazovat body, co máme:

bod R: $(2-1)^2 + (1-n)^2 = r^2$ , po úpravě: $2-2n+n^2=r^2$

bod na ose x: $(1-1)^2 + (0-n)^2 = r^2$ , po úpravě: $n^2=r^2$

Řešíme soustavu:

$2-2n+n^2=r^2$ (1)
$n^2=r^2$ - dosadíme do (1). rovnice

$2-2n+n^2=n^2$

$n=1$

Rovnice kružnice je tedy: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ tak jak navrhuješ z nákresu. V pořádku?

Marian · 28. 02. 2010 23:54

Šel bych na to (asi jednodušeji -- relativní) takto ...

(1) Potřebujeme k sestavení rovnice souřadnice středy a poloměr kružnice.
(2) Tečnou hledané kružnice v bodě [1,0] je osa "x". Proto střed kružnice S bude ležet na kolmici k tečně procházející bodem [1,0] - to je však přímka p: x=-1.
(3) Kružnice prochází dvěmi různými body, jejichž souřadnice známe - T=[1,0] a R=[2,1]. Najdeme rovnici osy úsečky RT (rovnice se spočítá velmi lehce).
(4) Střed kružnice leží jistě na této ose. Tj., celkem má ležet současně na dvou přímkách. Spočítáme průsečík dvou přímek a máme souřadnici středu S.
(5) Poloměr kružnice "r" je takové číslo, které vyjadřuje vzdálenost libovolného bodu na kružnici od jejího středu S, tj. také od bodu [1,0]. Odtud pomocí Pythagorovy věty obdržíme také velikost poloměru "r".

jelena · 01. 03. 2010 00:35

Marian napsal(a):
Proto střed kružnice S bude ležet na kolmici k tečně procházející bodem [1,0] - to je však přímka p: x=-1

nejsem si úplně jistá, že tomu tak je.

Marian napsal(a):
souřadnice středy

v neděli? nebo také přepínáš na ruskou klavesnici?

Úpřimně - já jsem se v tom postupu ztratila někde v 3. zatáčce, ale tu jsem vyznačila nějaké směry, tak kdyby vyšel čas a byla nálada. Již teď děkuji a hezký radostný pozdrav :-)

leník 5

↑ jelena:↑ Marian: Děkuji vám oběma moc a moc.

leník 5 · 01. 03. 2010 16:33

↑ Olin:↑ Doxxik: Chtěla jsem vám poděkovat zároveň, ale neumím to napsat do jedné zprávy.

jelena · 01. 03. 2010 16:36

↑ leník 5: také děkuji - vždy tak krásně ukončuješ téma - opravdu děkuji moc (věřím, že i za kolegy). Ať se vede :-)

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2010 09:16

analytická geometrie - kružnice

#2 28. 02. 2010 09:57

Re: analytická geometrie - kružnice

#3 28. 02. 2010 10:47

Re: analytická geometrie - kružnice

#4 28. 02. 2010 19:45 — Editoval leník 5 (28. 02. 2010 19:49)

Re: analytická geometrie - kružnice

#5 28. 02. 2010 21:59

Re: analytická geometrie - kružnice

#6 28. 02. 2010 23:54

Re: analytická geometrie - kružnice

#7 01. 03. 2010 00:35

Re: analytická geometrie - kružnice

Marian napsal(a):

Marian napsal(a):

#8 01. 03. 2010 16:29 — Editoval leník 5 (01. 03. 2010 16:31)

Re: analytická geometrie - kružnice

#9 01. 03. 2010 16:33

Re: analytická geometrie - kružnice

#10 01. 03. 2010 16:36

Re: analytická geometrie - kružnice

Zápatí