Matematické Fórum

kerami · 01. 03. 2010 11:58

Zdravím, potřeboval bych radu ohledně tohoto příkladu: Kolikátý člen rozvoje výrazu $(2x^2-\frac1x)^8$ obsahuje $x^7$ ? Mně vyšlo, že je to 8. člen a ve výsledku je uveden 4. člen. Díky vám.

Stýv · 01. 03. 2010 12:14

záleží, jak si je seřadíš:) ale pokud jsou seřazený od nejvyššího exponentu k nejnižšímu, pak první je k*(x^2)^8=k*x^16, dále pak nahrazuješ 2x^2 členem x^(-1), čímž se exponent sníží o 3, tedy exponenty jsou 16, 13, 10, 7, ...

zdenek1 · 01. 03. 2010 12:58

↑ kerami:
A jinak vyřešíš rovnici $(x^2)^{8-k}(\frac1x)^k=x^7$ pro $k$ a nezapomeneš, že se počítá od nuly.

kerami · 01. 03. 2010 14:43

↑ Stýv: asi jsem tupý, ale já jsem nepochopil proč můžu nahradit 2x^2 členem x^-1 a↑ zdenek1: a ani bych neuměl sestavit tu rovnici a potom ji vypočítat. Můžete mně to, vysvětlit polopaticky, prosím vás?

zdenek1 · 01. 03. 2010 15:23

↑ kerami:
Binomický rozvoj $(a+b)^n={n\choose0} a^{n-0}b^0+{n\choose1} a^{n-1}b^1+{n\choose2} a^{n-2}b^2+\dots+{n\choose n} a^{n-n}b^n$
vidíš, že jednotlivý člen má tvar ${n\choose k} a^{n-k}b^k$
Když tě zajímá pořadí, vynecháš koeficient a vezmeš jen $a^{n-k}b^k$ a nejdeš $k$
ve tvém konkrétním příkladu je $a=x^2$ $b=\frac1x$ (znovu upozoňuju, že vynecháváme všechny koeficienty jako 2 u $x^2$ a $-$ u $\frac1x$ ).
Dosadíme $(x^2)^{8-k}(\frac1x)^k=x^7$ (že tan je $x^7$ víme ze zadání úlohy)
a vyřešíme $x^{16-2k}x^{-k}=x^7$
$16-3k=7$
$k=3$
a protože počítáme o nuly je to 0,1,2,3 čtvrtý člen.