Matematické Fórum

lenka0112358 · 04. 03. 2010 17:56

Ahoj, prosím potřebovala bych poradit (hodně polopatě) jak počítat:

Z vrcholu věže vysoké h je vržen kámen směrem dolů pod úhlem alfa vůči horizontále. Za jakou dobu t dopadne na zem, jestliže velikost počáteční rychlosti byla v0? V jaké vzdálenosti s od věže dopadne? Odpor vzduchu zanedbejte.

Ivana · 04. 03. 2010 18:23 — Editoval Ivana (04. 03. 2010 18:26)

↑ lenka0112358:

Spíše než o dynamiku , jde v příkladu o pohyb tělesa v gravitačním poli Země :

lenka0112358 · 04. 03. 2010 19:00

↑ Ivana: díky jenomže to má vyjít takto: $t=\frac{-v_osin (alfa)+\sqrt{v_0^2sin^2(alfa)+2gh}}{g}$ a $s=v_otcos(alfa)$

Olin · 04. 03. 2010 19:29

Tak já se pokusím. Základní věc je rozdělit rychlost do složek: kolegyně Ivana je značí $v_0$ a $v_1$ , já raději použiji $v_h$ (horizontální) a $v_v$ (vertikální). Jejich velikosti lze vypočítat pomocí goniometrických funkcí:
$v_h = v \cdot \cos \alpha\nl v_v = v \cdot \sin \alpha$
Při vrzích a jiných pohybech v homogenním gravitačním poli je asi nejpodstatnější ta věc, že se můžeme dívat na pohyb v horizontálním a vertikálním směru naprosto odděleně - tj. kdybychom se pohybovali kolem padajícího kamene (směrem od věže) rychlostí $v_h$ , pozorovali bychom pád kamene kolmo k zemi.

Podívejme se tedy nejprve na vertikální pohyb. Jde v podstatě o pád z výšky $h$ s počáteční rychlostí $v_v$ , přičemž na kámen ještě působí gravitační síla způsobující zrychlení $g$ . Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb, takže kámen za čas $t$ urazí vzdálenost $s = v_v t + \frac 12 g t^2$ . Moment dopadu je ten moment, kdy platí $s = h$ , takže řešíme rovnici $v_v t + \frac 12 g t^2 = h$ , což si můžeme přepsat do povědomějšího tvaru $\frac 12 g t^2 +v_v t - h = 0$ . Jde o kvadratickou rovnici, kterou snadno vyřešíme:
$t = \frac{-v_v \pm \sqrt{v_v^2 + 2gh}}{g}$ .
Je ještě otázkou, jestli to znaménko má být + nebo -. Protože ale $\sqrt{v_v^2 + 2gh} > v_v$ (jde o samá kladná čísla), volbou mínuska bychom dostali záporný čas, takže tam bude to +.

Vzorec pro čas, který uvádíš, dostaneš už jednoduše tak, že dosadíš $v_v = v \cdot \sin \alpha$ .

Teď se podíváme na horizontální pohyb. Ten je rovnoměrný s rychlostí $v_h$ - tzn. kdybychom se pohybovali kolmo dolů podle rovnice $s = v_v t + \frac 12 g t^2$ (stejně jako kámen), viděli bychom, že kámen se pohybuje konstantní rychlostí po přímce. Pohybuje se tedy podle rovnice $s_h = v_h t$ (dráhu v horizontálním směru značím $s_h$ , abych ji odlišil od již použité dráhy $s$ ). Opět stačí jen dosadit $v \cdot \cos \alpha$ a máme požadovaný vzorec.