Matematické Fórum

ondrakub · 07. 03. 2010 10:56

zdravím,
předem se chci omluvit za (možná) nevhodnou kategorii, vůbec jsem netušil do které to napsat.
Mám tento příklad:

Dve mesta A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z mesta A do mesta B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z mesta B vlak do mesta A po té samé koleji stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstríc jisté zkáze, z predního okna (u strojvudce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstríc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k nemu doletí, dotkne se nožkou jeho predního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmácknou na placku. Úkolem je zjistit kolik kilometru moucha celkem nalétala?

A potřeboval bych ho pomoc spočítat, vůbec netuším co s ním. Asi to pro mnohé bude primitivní.

Předem moc díky ;-)

gladiator01

Spíš by se to hodilo do sekce střední škola, než sem a tady se řešilo něco podobného.

halogan · 07. 03. 2010 12:00

Jde to počítat i hrubou silou :-)

Ivana · 07. 03. 2010 12:50

↑ ondrakub:Ano , jak odkázal kolega ↑ halogan:
... jde o příklad pán a pes.

Chrpa · 07. 03. 2010 13:30 — Editoval Chrpa (07. 03. 2010 14:42)

↑ ondrakub:
1) Jak dlouho pojedou vlaky než se potkají?
2) Jakou vzdálenost moucha uletí rychlostí 100 km/h za čas než se vlaky potkají?

ad1)
Vlaky jedou oba rychlostí 60 km/h.
Jedou proti sobě jejich relativní rychlost je součtem jejich rychlostí = 120 km/h
Dohromady ujedou vzdálenost míst AB tj. 90 km
Potřebují na to čas: 90/120 = 3/4 hodiny.

ad2)
Moucha mezi vlaky létá rychlostí 100 km/h 3/4 hodiny a tak nalétá:
3/4*100 = 75 km
Moucha nalétá 75 km.
PS:
Hrubou silou by to šlo řešit jako součet nekonečné geometrické řady.

2) Hrubou silou
Pro součet S nekonečné geometrické řady platí:
$S=\frac{a_1}{1-q}$ kde: $a_1$ = první člen řady a $q$ = kvocient řady.

1) Moucha letí z A proti vlaku jedoucímu z B.
Pohybují se proti sobě jejich relativní rychlost je součtem jejich rychlostí = 160 km/h (100 + 60)
Dohromady ujedou(nalétají) vzdálenost AB = 90 km
Potřebují na to čas t_1:
$t_1=\frac{90}{160}\nlt_1=\frac{9}{16}$
Za čas t_1 uletí moucha vzdálenost:
$100\cdot\frac{9}{16}=\frac{225}{4}=a_1\,\rm{(km)}$
V tomto momentě bude vzdálenost vlaků:
$s_1=90-\frac{120\cdot 9}{16}=\frac{45}{2}\,\rm{km}$
2) Moucha letí od B k A tj. platí:
$160t_2=\frac{45}{2}\nlt_2=\frac{9}{64}$
Můžeme dopočítat kvocient q řady tj:
$q=\frac{t_2}{t_1}=\frac{\frac{9}{64}}{\frac{9}{16}}=\frac 14$
Vzdálenost, kterou nalétá moucha bude:
$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{225}{4}}{1-\frac 14}\nlS=\frac{\frac{225}{4}}{\frac 34}\nlS=\frac{225}{3}=75\,\rm{km}$
Moucha nalétá 75 km.