Matematické Fórum

kerami · 08. 03. 2010 22:19

Zdravím, potřeboval bych poradit s tímto příkladem: Na hyperbole $a=6;b=9$ , která má osy na osách $x;y$ určete body dotyku tečen rovnoběžných s přímkou $p:15x-4y-15=0$ . Vůbec nevím, jak na to. Jestli můžu počítat soustavu $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{81}=1$ a $15x-4y-15=0$ . Díky všem.

Olin · 08. 03. 2010 22:59 — Editoval Olin (08. 03. 2010 23:02)

Všechny přímky rovnoběžné s přímkou p mají obecnou rovnici ve tvaru $15x-4y+C=0,\, C \in \mathbb{R}$ . Jestliže je přímka tečnou hyperboly, pak mají společný právě jeden bod, takže soustava rovnic
$15x-4y+C=0\nl \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{81}=1$
má právě jedno řešení. Tyto případy odhalíme snadno dosazením z první rovnice do druhé a diskusí počtu řešení vzniklé kvadratické rovnice vzhledem k parametru C. Na závěr je ještě třeba promyslet, jestli nalezené přímky jsou opravdu tečny, protože by to mohly být i přímky rovnoběžné s asymptotami hyperboly (ty mají také s hyperbolou jen jeden společný bod).

Chrpa · 08. 03. 2010 23:16

↑ Olin:
Pokud jsem dobře počítal, tak to vychází dost šíleně.
$p_1:\,15x-4y+2\sqrt{1701}\nlp_2:\,15x-4y-2\sqrt{1701}$

gadgetka · 08. 03. 2010 23:24

Taky mi to tak vyšlo, odmocnina se dá ještě rozložit na $18\sqrt{21}$

Olin · 08. 03. 2010 23:30

S vašimi výsledky souhlasím, i s jejich estetickým hodnocením :-)

kerami · 09. 03. 2010 08:38 — Editoval kerami (09. 03. 2010 08:42)

Zapomněl jsem napsat výsledek: $T_1=[\frac{10}7\sqrt21; \frac67\sqrt21]$ $T_2=[-\frac{10}7\sqrt21; -\frac67\sqrt21]$ asi je chyba v zadání. Díky vám za pomoc. Nebo z těch přímek, co jste uvedli, se dají nějak vypočítat ty body dotyku?

Cheop · 09. 03. 2010 09:45 — Editoval Cheop (09. 03. 2010 13:24)

↑ kerami:
Ano:

Vyřešís soustavu rovnic
1) $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{81}=1\nl15x-4y+18\sqrt{21}=0$
2) $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{81}=1\nl15x-4y-18\sqrt{21}=0$

PS: Počítal jsem to a vychází to podle Tvých výsledků.
Obrázek:

kerami · 10. 03. 2010 14:33

↑ Cheop: Můžete mně posunout ještě trochu dál? Jaksi mně to nejde, díky za pomoc.

Chrpa · 10. 03. 2010 15:37 — Editoval Chrpa (10. 03. 2010 16:01)

↑ kerami:
Máme rovnice:
1) $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{81}=1\nl81x^2-36y^2=2916\nl9x^2-4y^2-324=0$
2) $\nl15x-4y-18\sqrt{21}=0\nly=\frac{15x-18\sqrt{21}}{4}\nly^2=\frac{225x^2-540\sqrt{21}x+6804}{16}\nl4y^2=\frac{225x^2-540\sqrt{21}x+6804}{4}$ za $4y^2$ z druhé ovnice dosadíme do 1) a dostaneme:
$9x^2-\frac{225x^2-540\sqrt{21}x+6804}{4}-324=0\nl36x^2-225x^2+540\sqrt{21}x-6804-1296=0\nl-189x^2+540\sqrt{21}x-8100=0\nl7x^2-20\sqrt{21}x+300=0$
Nyní si stačí uvědomit, že diskriminant této kvadratické rovnice = 0 (to je předpoklad toho, že přímka a hyperbola má jen jeden společný bod) tedy x-ová souřadnice bodu dotyku bude:
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{20\sqrt{21}}{2\cdot 7}=\frac{10\sqrt{21}}{7}$
Dopočítáme y-ovou souřadnici bodu dotyku tj:
$y=\frac{15x-18\sqrt{21}}{4}=\frac{\frac{150\sqrt{21}}{7}-18\sqrt{21}}{4}\nly=\frac{24\sqrt{21}}{28}=\frac{6}{7}\cdot\sqrt{21}$
Bod dotyku je:
$T_1\left(\frac{10\sqrt{21}}{7};\,\frac{6\sqrt{21}}{7}\right)$
Obdobně to bude i pro druhou přímku jen ta kvadratická rovnice vyjde:
$7x^2+20\sqrt{21}x+300=0$

PS: Můžeš si tu kvadratickou rovnici dopočítat do konce a opravdu zjistit, že diskriminant = 0

Stačí takto ?