Matematické Fórum

nordec · 12. 03. 2010 20:39

Zdravím, nevím si rady, kolika způsoby lze rozesadit kolem kulatého stolu $a$ Arabů, $b$ Bulharů a $c$ Čechů tak, aby žádní příslušníci stejného národa netvořili souvislý úsek. Rozesazení lišící se pootočením stolu považujeme za stejná a lidé jsou navzájem rozlišitelní.

Řešil bych to tak, že od všech rozesazení odečtu možnosti, kdy alespoň dva příslušníci stejného národa sedí vedle sebe. Všech rozesazení asi bude $(a+b+c-1)!$ , ale dál jsem v koncích.

(Zkoušel jsem to pro a=2, b=2, c=2 a vyšly překvapivě jen 4 způsoby.)

petrkovar · 12. 03. 2010 21:08

↑ nordec:Navrhuji použít princip inkluze a exkluze.

check_drummer · 13. 03. 2010 17:27

Co znamená, že příslušníci stejného národa tvoří souvislý úsek? Znamená to, že vedle sebe nesmí sedět dva příslušníci stejného národa a nebo že vedle sebe nesmí sedět např. všech $a$ Arabů. Pokud je druhá možnost správná, navrhuju spočítat počet všech kombinací, které nespňují podmínku úlohy. To by mělo být snadné.

nordec · 13. 03. 2010 21:35

↑ petrkovar:
Zde nevím, jestli mám brát jako množiny národy nebo počty příslušníků jednoho národa sedících za sebou.

↑ check_drummer:
Ta druhá možnost mě nenapadla, ale spíš to bude ta těžší první varianta.

nordec · 17. 03. 2010 19:41

Principem inkluze a exkluze by se to vypočítalo takto?

(všechny možnosti) - (2 lidé vedle sebe) + (3 lidé vedle sebe) - (4 lidé vedle sebe) + ... (všichni vedle sebe)

A číselně:

$(a+b+c-1)! - \frac{(a+b+c)!}{1!} + \frac{(a+b+c)!}{2!} - \frac{(a+b+c)!}{3!} + \ldots (-1)^{n+1}\frac{(a+b+c)!}{(a+b+c-1)!}$
n je pořadové číslo členu v mnohočlenu.

Dá se to tak zapsat s tím n? Je to celé vůbec správně?

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2010 20:39

Rozesazení příslušníků 3 národů kolem kulatého stolu

#2 12. 03. 2010 21:08

Re: Rozesazení příslušníků 3 národů kolem kulatého stolu

#3 13. 03. 2010 17:27

Re: Rozesazení příslušníků 3 národů kolem kulatého stolu

#4 13. 03. 2010 21:35

Re: Rozesazení příslušníků 3 národů kolem kulatého stolu

#5 17. 03. 2010 19:41

Re: Rozesazení příslušníků 3 národů kolem kulatého stolu

Zápatí