Matematické Fórum

paul27 · 14. 03. 2010 01:53

Dobrý den.

Snažím se pochopit defivaci funkce a narazil jsem na věc, které až tolik nerozumím, proto bych byl rád, kdybyste mi ji pomohli objasnit.

Řekněme, že mám funkci y = x^3 - 2. Vím, že derivace této funkce je 3x^2, tz. dokážu to spočítat jak podle vět o derivacích nebo i přes limitu, ale přesto bych potřeboval trochu objasnit, proč do limity nedosazuji takto $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^3 - 2 + h) - (x^3 - 2)}{h}$ , ale takto $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{((x + h)^3 - 2) - (x^3 - 2)}{h}$ , tz. není mi jasné, proč je f(x_0 + h)=(x + h)^3 - 2 namísto f(x_0 + h)=(x^3 - 2 + h). Představuji si to tak, že vezmu funkční hodnotu té funkce v bodě x a přičtu k ní nekonečně malé h ((x^3 - 2 + h))a od této hodnoty odečtu funkční hodnotu té funkce v bodě x (x^3 - 2). Nicméně to bych dospěl k výsledku $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h}$ a to je očividně špatně.

Kde tedy dělám chybu? Děkuji za případné odpovědi.

halogan · 14. 03. 2010 08:50

Tebe zajímá změna funkční hodnoty při nekonečně malé změně x, takže nemůžeš ručně měnit funkční hodnotu. Zkoumáš okolí daného bodu.

pietro · 14. 03. 2010 11:14

↑ paul27:
este tento obraok na ilustraciu ako to mysleli Newtonovci, ked vymyslali derivaciu..

jarrro · 14. 03. 2010 12:19

derivácia je $\lim_{h\to 0}{\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$ a $f\left(x+h\right)\neq f\left(x\right)+h$

paul27 · 14. 03. 2010 18:18 — Editoval paul27 (14. 03. 2010 18:19)

Děkuji za odpovědi. Myslím, že jsem si nedostatečně uědomil tvrzení, které uvedl halogan a jarro, tz. že nesmím měnit funkční hodnotu funkce. Možná by mi také pomohlo, kdybychom ve škole rovnou psali $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - (x^3)}{h}$ , ta konstanta se stajně v dalších úpravách vyruší (což je logické, když derivace konstanty je 0 - graf konstantní funkce je rovnoběžný s osou x a tg 0° = 0).

Tak jen pro kontrolu jestli to už nějak pobírám. Například funkce y = 2x^3 - x^2 má v bodě x limitu: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(x + h)^3 - (x + h)^2 - 2x^3 + x^2}{h}$ , po postupných úpravách, které tu rozepisovat nebudu, jsem se dostal k výsledku $f'(x) = 6x^2 - 2x$ , což je správně (alespoň tak soudím podle zavedených vzorců pro derivování, konkrétně podle vzorce x^n = nx^(n-1)).

jelena · 15. 03. 2010 00:27

↑ paul27: ano, je to v pořádku.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2010 01:53

derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

#2 14. 03. 2010 08:50

Re: derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

#3 14. 03. 2010 11:14

Re: derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

#4 14. 03. 2010 12:19

Re: derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

#5 14. 03. 2010 18:18 — Editoval paul27 (14. 03. 2010 18:19)

Re: derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

#6 15. 03. 2010 00:27

Re: derivace funkce v bodě počítaná pomocí limity

Zápatí