Matematické Fórum

marekjanu

Vážení, snažím se řešit tuto úlohu:

Napište Fourierův rozvoj funkce f(x)=3-x v intervalu [-3,3] vzhledem k trigoniometrickému systému.
Pokus o řešení viz. níže:

Nevím si rady zejména s tím, co je to ta velká théta a jestli vůbec postupuji dobře, předem velmi děkuji za pomoc.

jelena · 19. 03. 2010 00:54

↑ marekjanu:

Zdravím,

řekla bych, že tak, jak je zadán interval (-3, 3) se přesně použije pro meze integralu [-L, L] / to je k "thete". Jinak všechno dle vzorce pro obecný interval.

Příklady.

Je třeba kontrolovat více podrobně?

marekjanu

Dobrý den,
výše jsem uvedl aktualizovaný výpočet, kterým jsem se snažil příklad řešit, nevím proč mi an a bn vychází rovno 0.

Kondr · 21. 03. 2010 21:20

↑ marekjanu: Protože $a_0/2=3$ , ta suma se má rovnat -x. To je funkce lichá a u kosinů budou nuly. (Pro sudou funkci jsou zase nuly u sinů.)

marekjanu · 21. 03. 2010 22:02

↑ Kondr:

Myslel jsem si, že lichá funkce musí být souměrná podle bodu O. Vychází mi an=0 i bn=0. Viz. výpočet výše.

jelena · 21. 03. 2010 23:29 — Editoval jelena (22. 03. 2010 00:08)

↑ marekjanu:

a_0 mi vychází číslo, ostatní koeficienty a jsou nulové,

$b_n=\frac{6\cos(\pi n)}{\pi n}=\frac{6\cdot (-1)^n}{\pi n}$ je to vysoce bez záruky, neručím, že jsem nějaký koeficient neztratila (ale idejově by to tak nějak snad mělo být).

A dokonce bych řekla, že se shodujeme. Před integralem pro b_n je 1/3, ta se ztratila u 2. závorky, je třeba doplnit (s 3 se vykratila, ale s (-x) ze závorky (3-x) musí zůstat). ale to je detail

v úplně poslení úpravě zůstavá $3cos(3\omega \pi)+3cos(-3\omega \pi)=6\cos(3\omega \pi)$ , jelikož $\cos(-\alpha)=\cos (\alpha)$

Po doplnění ztraceného koefintu 1/3 by mělo být OK.

marekjanu · 22. 03. 2010 11:48

↑ jelena:

Děkuji, bude to tím koeficientem. to a0=3?

Olin · 22. 03. 2010 12:39

Jak již pravil kolega ↑ Kondr:, bude $a_0 = 6$ .

marekjanu

Dobrý den,
příklad jsem opět přepočítal, myslím si, že hodnota bn je již v pořádku. U an mám pochybnosti a to ze dvou důvodů:
WolframAlpha říká http://www.wolframalpha.com/input/?i=Fo … +x%2C+n%5D něco jiného a při dosazení n=0 mi vyjde an=0 a přitom Olin říká, že a0=6. Proč to tak je?

Ještě bych měl jednu otázku. Jak takovéhle příklady vlastně nejlépe řešit. Mám to řešit vždycky počítáním těch integrálů dle vzorců, nebo si to jde nějak rozdělit jakože bych spočítal rozvoj funkce f(x)=-x a tu trojku (3-x) tam pak zohlednil nějak jinak. Je f(x)=(3-x) lichá funkce? Podle mně ne, lichá je jen f(x)=-x nicméně je zajímavé, že i v mém případě (3-x) mi vyšel koeficient an=0. Prosím, objasněte mi to někdo.

Olin · 22. 03. 2010 19:53

↑ marekjanu:
Pozor, při dosazení n=0 rozhodně nedostaneš nulu, ale nedefinovaný výraz 0/0. To napovídá, že tento případ asi bude nutné řešit zvlášť. Možná by šlo po nějaké úvaze (tj. použití nějakých drsných vět o integrálech a limitách) říct, že když máme $a_n = \frac{6 \sin(\pi n)}{\pi n}$ , tak bude $a_0 = \lim_{n \to 0} a_n = 6$ (uvažováno jako limita funkce reálné proměnné $n$ ), ale do toho bych se raději opravdu nepouštěl. Snazší bude asi spočíst integrál
$a_0 = \frac 13 \int_{-3}^3 (3-x) \mathrm{d}x = 6$ .

$3-x$ samozřejmě není lichá funkce, protože neplatí $3-(-x) = -(3-x)$ . V tomto případě bylo opravdu výhodné to rozdělit na tu trojku a $-x$ , protože $-x$ je lichá funkce - v jejím rozvoji budou pouze sinové členy. K tomu pak už jen stačí přičíst tu vyhozenou trojku, která tedy representuje člen $\frac{a_0}{2}$ .

marekjanu · 22. 03. 2010 20:15

↑ Olin:

Děkuji, tak ještě přikládám řešení příkladu tímto, snadnějším způsobem a prosím o pečlivou kontrolu, neboť to předložím svému učiteli:

jelena · 22. 03. 2010 22:30

↑ marekjanu:

Zdravím,

já jsem žádnou chybu nenašla, ale překontrolovavat stejnou řadu ve 3. variantě...

Ve svém postupu jsem integrovala rovnou s (3-x)... při per partes u=3-x, ale není to podstatné.

↑ Olin: kolego - formálně zápis je v pořádku (to není moje silná stranka)? Děkuji a zdravím.

Jelena napsal(a):
a_0 mi vychází číslo, ostatní koeficienty a jsou nulové,

to je ovšem perla, které je to číslo? (je to 6 :-) a ještě mám samý překlep ve slovech - ale celovíkendovém (dobrovolném) pobytu v práci...

V pořádku?

marekjanu · 22. 03. 2010 23:07

↑ jelena:

Velice děkuji za ochotnou pomoc. Nejlepší na tom je, že jsem pochopil určité principy (kromě toho, že jsem získal řešení i s postupem). Děkuji i všem ostatním kdo radili.

Olin · 23. 03. 2010 10:12

↑ jelena: ↑ marekjanu:
Zdravím, žádnou chybu jsem nenašel, ani formální. Je sice poněkud nezvyklé vidět znak integrálu uvnitř "dosazovacích" hranatých závorek, ale proč ne.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2010 17:28 — Editoval marekjanu (21. 03. 2010 21:12)

Fourierův rozvoj funkce

#2 19. 03. 2010 00:54

Re: Fourierův rozvoj funkce

#3 21. 03. 2010 21:11 — Editoval marekjanu (21. 03. 2010 21:14)

Re: Fourierův rozvoj funkce

#4 21. 03. 2010 21:20

Re: Fourierův rozvoj funkce

#5 21. 03. 2010 22:02

Re: Fourierův rozvoj funkce

#6 21. 03. 2010 23:29 — Editoval jelena (22. 03. 2010 00:08)

Re: Fourierův rozvoj funkce

#7 22. 03. 2010 11:48

Re: Fourierův rozvoj funkce

#8 22. 03. 2010 12:39

Re: Fourierův rozvoj funkce

#9 22. 03. 2010 17:30 — Editoval marekjanu (22. 03. 2010 18:41)

Re: Fourierův rozvoj funkce

#10 22. 03. 2010 19:53

Re: Fourierův rozvoj funkce

#11 22. 03. 2010 20:15

Re: Fourierův rozvoj funkce

#12 22. 03. 2010 22:30

Re: Fourierův rozvoj funkce

Jelena napsal(a):

#13 22. 03. 2010 23:07

Re: Fourierův rozvoj funkce

#14 23. 03. 2010 10:12

Re: Fourierův rozvoj funkce

Zápatí