Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 07. 02. 2008 11:40
prosté zobrazení
Zdravím,
předem říkám,že v algebře dost plavu :) mám tenhle příklad:
Jsou dána zobrazení A: R^3 -> R^2 a B: R^2 -> R^3, pro která platí A(x1,x2,x3) =(x1+x2-2x3, -x1+2x2) a B(x1,x2)=(x1+2x2,2x1-x2,x1+x2). Rozhodněte, zda je složené zobrazení B°A: R^3 -> R^3 prosté (zdůvodněte). Pokud ano najděte matici inversního lineárního zobrazení (B°A)^-1 vzhledem ke standardním bázím. Pokud ne, najděte bázi a dimenzi jádra zobrazení (B°A)...
ideálně kdyby se na takovýhle příklady našel nějak co nejvíc univerzální postup :) A jsem z fel čvut, takže prosím vysvětlovat opatrně a jak pro vola :)
díky moc Buchtik
Offline
#2 07. 02. 2008 16:06
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4246
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: prosté zobrazení
Předpis A(x1,x2,x3) =(x1+x2-2x3, -x1+2x2) říká, že
(1,0,0) se zobrazí na (1,-1)
(0,1,0) na (1,2)
(0,0,1) na (-2,0).
Obor hodnot A je generován vektory (1,-1), (1,2) a (-2,0), je to proto celý R^2.
Obor hodnt B o A je množina, na kterou zobrazení B zobrazí obor hodnot A.
Protože B zobrazí
(1,0) na (1,2,1)=v1 a
(0,1) na (2,-1,1)=v2, je obor hodnot
B o A generován vektory (1,2,1) a (2,-1,1).
Dimenze obrazu B o A je 2, tedy je menší než dimenze definičního oboru. Proto zobrazení není prosté a hledáme bázi jeho jádra (víme, že dimenze jádra je dimenze def. oboru - dimenze obrazu, tedy 3-2=1).
Protože jsou vektory v1,v2 nezávislé, B zobrazí na (0,0) jen (0,0). Proto B o A zobrazí na (0,0) to, co A zobrazí na (0,0).
Stačí proto najít jádro zobrazení A, což už se tu na fóru mockrát řešilo.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#3 08. 02. 2008 12:01
Re: prosté zobrazení
Kondr:
díky moc, jeden malý dotaz :) dimenze def.oboru B o A je vlastně stejná jako dimenze def.oboru A, že? a to určím z toho, že (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) má dimenzi 3 (protože to jsou 3 lin. nezávislé vektory) ?
Offline
#5 08. 02. 2008 15:57
Re: prosté zobrazení
Super, tak tohle už snad nějak chápu :)
Můžu ještě poprosit, jak by se našla k tomu složenému zobrazení matice? Je na to nějaký univerzální postup a? už to hledám vzhledem ke standardním bázím nebo k jiným?
Offline
#6 08. 02. 2008 17:59
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4246
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: prosté zobrazení
Pokud mám matici A, která z vektoru v bázi X dělá vektor v bázi Y a matici B, která z vektoru v bázi Y dělá vektor v bázi Z, pak matice B o A je rovna součinu BA. Přitom X,Y a Z mohou být báze různých VP, v našem případě je ideální za X a Z zvolit kanonickou bázi R^3 a za Y kanonickou bázi R^2.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
