Matematické Fórum

Sucre · 18. 03. 2010 21:05

Ahoj, zítra píšeme písemku a já furt nemůžu přijít na tento příklad:

určete vzájemnou polohu rovin (odchylku, průsečnici, pokud existují):

a: x + y + 2z - 8 = 0
b: 4x - y - z + 10 = 0

Mohl byste mi s tím někdo pomoci?
Děkuji za rady.

Olin · 18. 03. 2010 21:22

Hmm, a co to má společného s elipsami?

Jinak: je hnedka vidět, že roviny nejsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory (jejichž souřadnice odpovídají koeficientům u x, y, z v rovnicích) nejsou kolineární (jeden není násobek druhého). Odchylka se určí jako odchylka normálových vektorů pomocí vzorce $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$ (běžný vzorec pro odchylku vektorů nemá v čitateli tu absolutní hodnotu, tady je proto, že odchylku rovin chceme mít vždy v intervalu $\langle 0,\, 90^{\circ}\rangle$ ). Směrový vektor průsečnice zjistíme tak, že vektorově vynásobíme normálové vektory rovin. Pak již stačí najít jeden bod, který leží na průsečnici (tedy splňuje rovnice obou rovin), a parametrické rovnice průsečnice se sestaví snadno.

Sucre · 18. 03. 2010 21:27

Olin napsal(a):
Hmm, a co to má společného s elipsami?

Jinak: je hnedka vidět, že roviny nejsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory (jejichž souřadnice odpovídají koeficientům u x, y, z v rovnicích) nejsou kolineární (jeden není násobek druhého). Odchylka se určí jako odchylka normálových vektorů pomocí vzorce $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$ (běžný vzorec pro odchylku vektorů nemá v čitateli tu absolutní hodnotu, tady je proto, že odchylku rovin chceme mít vždy v intervalu $\langle 0,\, 90^{\circ}\rangle$ ). Směrový vektor průsečnice zjistíme tak, že vektorově vynásobíme normálové vektory rovin. Pak již stačí najít jeden bod, který leží na průsečnici (tedy splňuje rovnice obou rovin), a parametrické rovnice průsečnice se sestaví snadno.

Promiň spletl jsem si nadpis

Sucre · 18. 03. 2010 21:29

Olin napsal(a):
Hmm, a co to má společného s elipsami?

Jinak: je hnedka vidět, že roviny nejsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory (jejichž souřadnice odpovídají koeficientům u x, y, z v rovnicích) nejsou kolineární (jeden není násobek druhého). Odchylka se určí jako odchylka normálových vektorů pomocí vzorce $\cos \varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$ (běžný vzorec pro odchylku vektorů nemá v čitateli tu absolutní hodnotu, tady je proto, že odchylku rovin chceme mít vždy v intervalu $\langle 0,\, 90^{\circ}\rangle$ ). Směrový vektor průsečnice zjistíme tak, že vektorově vynásobíme normálové vektory rovin. Pak již stačí najít jeden bod, který leží na průsečnici (tedy splňuje rovnice obou rovin), a parametrické rovnice průsečnice se sestaví snadno.

Jinak díky, teď už to půjde.

Sucre · 18. 03. 2010 22:42

Můžu ještě poprosit o vysvětlení jak se dopracovat k výpočtu té průsečnice? Směrový vektor již mám, ale dál nevím co dělat...

Olin · 18. 03. 2010 22:58

Musím najít nějaký bod, který leží na obou rovinách, tedy je řešením soustavy rovnic
$x + y + 2z - 8 = 0\nl 4x - y - z + 10 = 0$ .

To je ale soustava dvou lineárních rovnic o třech neznámých, jednu neznámou si tedy mohu zvolit - tak třeba $x = 0$ . Pak už řeším jen
$y + 2z - 8 = 0\nl - y - z + 10 = 0\nl y = 12,\, z = -2$ .

Hledané parametrické rovnice průsečnice tedy budou např.
$x = t\nl y = 12 + 9t\nl z = -2 - 5t\nl t \in \mathbb{R}$ .