Matematické Fórum

nordec · 20. 03. 2010 16:56

Prosím o radu, jaká je pravděpodobnost, že dvě náhodně zvolená čísla z intervalu <1;n> budou nesoudělná?

Můj pokus o řešení:
$pravdepodobnost=priznive jevy/vsechny jevy$

$vsechny jevy=n^2$ (uvažoval jsem nad kombinacemi s opakováním, ale vybírám-li n způsoby první a pak zase n způsoby druhé číslo, vychází to tak)

$priznive jevy=n^2 - {\frac{n}{2} \choose 1}^2 + {\frac{n}{3} \choose 1}^2 - {\frac{n}{5} \choose 1}^2 + {\frac{n}{7} \choose 1}^2 - {\frac{n}{11} \choose 1}^2 + {\frac{n}{13} \choose 1}^2 - {\frac{n}{17} \choose 1}^2 +\ldots$ (od všech "odečítám", kdy jsou dělitelná 2,3,(4 ne, ty jsou zahrnuty u dvojky),5,7,11,atd, vlastně to budou jen prvočísla; ale nejde to jen tak odečíst, protože dělitelná 2 a zároveň 3 bych odečetl dvakrát, proto princip inkluze a exkluze)

$pravdepodobnost=\frac{n^2 - {\frac{n}{2} \choose 1}^2 + {\frac{n}{3} \choose 1}^2 - {\frac{n}{5} \choose 1}^2 + {\frac{n}{7} \choose 1}^2 - {\frac{n}{11} \choose 1}^2 + {\frac{n}{13} \choose 1}^2 - {\frac{n}{17} \choose 1}^2 +\ldots}{n^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} - \frac{1}{11^2} + \frac{1}{13^2} - \frac{1}{17^2} +\ldots$

Nevím, jestli postupuji správně a potom, jak sečíst výslednou řadu s prvočísly? Předem děkuji.

Kondr · 20. 03. 2010 17:25

No některé úvahy jsou dobře, ale takto to počítat nejde. Postup jak to počítat je popsán zde: http://en.wikipedia.org/wiki/Coprime#Probabilities

nordec · 21. 03. 2010 17:36

Takže výsledná pravděpodobnost, že dvě čísla z intervalu <1;n> jsou nesoudělná, je $\prod_{p \in prvocisla}^{n}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$ ?

Stýv · 21. 03. 2010 17:42

ne, pro konečná n neplatí tak docela, že je číslo dělitelné prvočíslem p s pstí 1/p, (např. pro n=5 je pst., že je číslo dělitelné třemi jen 1/5, nikoli 1/3)

nordec · 21. 03. 2010 19:31

To mně nějak uniklo. Pravděpodobnost, že číslo je dělitelné prvočíslem p tedy bude $\frac{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}{n}$ ? Potom by výsledná vycházela $\prod_{p \in prvocisla}^{n}\left(1-\frac{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}{n^2}\right)$ ?

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2010 16:56

Pravděpodobnost nesoudělných čísel

#2 20. 03. 2010 17:25

Re: Pravděpodobnost nesoudělných čísel

#3 21. 03. 2010 17:36

Re: Pravděpodobnost nesoudělných čísel

#4 21. 03. 2010 17:42

Re: Pravděpodobnost nesoudělných čísel

#5 21. 03. 2010 19:31

Re: Pravděpodobnost nesoudělných čísel

Zápatí