Matematické Fórum

sl · 21. 03. 2010 19:56

Je pravda, že množina {x náleží R^n : Ax=b}, kde A náleží R^(n x n) a b náleží R^n je uzavřená.

dobry den, vim ze toto tema jiz bylo uzavreno viz http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=15746, ale chtela jsem se zeptat, zda jeste nevite o nejakem jinem zpusobu, jak by se to dalo dokazat, pry to ma jit i jinak...lamu si nad tim hlavu uz tyden a opravdu me jiny zpusob nenapadl teda vlastne me nenapadl zadny, jelikoz ten s vetou o vzorech a obrazech ste mi poradili vy:) Omlouvam se, zda porosuji nejaka pravidla, ze uzavrene tema se nema, jiz otevirat nebo neco podobneho. Predem dekuji za pomoc

lukaszh

↑ sl:

Môžeme si zobrať kritérium uzavretosti: Množina M je uzavretá, ak obsahuje všetky svoje hromadné hodnoty. Dokážeme, že
$\mathbb{M}_{\preceq}=\{x\,:\;Ax\preceq b\,,\;A\in\mathbb{R}^{n\times n},b\in\mathbb{R}^n\}\nl \mathbb{M}_{\succeq}=\{x\,:\;Ax\succeq b\,,\;A\in\mathbb{R}^{n\times n},b\in\mathbb{R}^n\}$
sú uzavreté množiny. Potom ukážeme, že prienik dvoch uzavretých množín je uzavretá množina. Potom vezmeme
$\mathbb{M}_{\preceq}\cap\mathbb{M}_{\succeq}=\{x\,:\;Ax= b\,,\;A\in\mathbb{R}^{n\times n},b\in\mathbb{R}^n\}$
teda to bude uzavretá množina.

Vezmeme konvergentnú postupnosť $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{M}_{\preceq}$ s limitou $x^{*}$ . Platí
$\forall n\in\mathbb{N}\,:\;Ax_n\preceq b$
Keďže každý člen postupnosti je menší alebo rovný vektoru b, potom aj limita leží v M. Keby limita neležala v M, platilo by $x^{*}\in\mathbb{M}_{\preceq}^{c}$ . Potom by muselo byť $Ax^{*}\,\succ\,b$ . Potom by však aj pre dostatočne malé kladné epsilon bolo $A(x^{*}+\varepsilon)\,\succ\,b$ , čo je spor s definíciou hromadnej hodnoty, pretože by existovali členy $x_k$ , ktoré neležia v $\mathbb{M}_{\preceq}$ . Rovnako sa ukáže, pre druhú množinu.

Prienik dvoch uzavretých je uzavretá množina. Vezmime konvergentnú postupnosť $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset(A\cap B)$ . Potom $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset A$ a súčasne $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset B$ . Keďže A,B sú uzavreté, tak obsahujú limitu $x_n\to x^{*}$ . Teda $[x^{*}\in A\;\wedge\;x^{*}\in B]\;\Rightarrow\;x^{*}\in(A\cap B)$ . A máme to.

sl · 21. 03. 2010 23:17

moc Vam dekuji, na tohle pres ty pruniky bych opravdu neprisla. Jeste jednou diky.

Stýv · 22. 03. 2010 00:04

↑ lukaszh: obávám se, že v R^n nemůžeš jen tak operovat s <>

lukaszh

↑ Stýv:

Je to trochu scestné, čo píšem. Zmenil som $\le$ na $\preceq$ .
$\mathbf{a}\preceq\mathbf{b}\Leftrightarrow a_i\le b_i\,;\;1,\cdots,n$
Alebo pokiaľ chceme, tak ukážeme, že každá z rovníc generuje uzavretú množinu, potom bude aj výsledok systému uzavretá množina. Je to podobné.

Stýv · 22. 03. 2010 11:18

a proč to nedokázat rovnou pro tu rovnost?

lukaszh · 22. 03. 2010 15:56

↑ Stýv:

Nemusíš sa ma vypytovať, i keď viem kam smeruješ. Ušetríme čas a priestor, ak ponúkneš aj ďalšie riešenie. Netvrdím, že moje je len jedno, no ja som sa rozhodol dokazovať takto.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2010 19:56

Ax=b uzavrena II

#2 21. 03. 2010 21:48 — Editoval lukaszh (16. 04. 2010 14:09)

Re: Ax=b uzavrena II

#3 21. 03. 2010 23:17

Re: Ax=b uzavrena II

#4 22. 03. 2010 00:04

Re: Ax=b uzavrena II

#5 22. 03. 2010 07:18 — Editoval lukaszh (16. 04. 2010 14:10)

Re: Ax=b uzavrena II

#6 22. 03. 2010 11:18

Re: Ax=b uzavrena II

#7 22. 03. 2010 15:56

Re: Ax=b uzavrena II

Zápatí